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Objet

De nombreux produits manufacturés sont composés d'un bloc de matériau solide percé de trous qui sont donc remplis de fluide comme l'air ou l'eau lors de leur usage courant. Mesurer les propriétés thermophysiques du matériau inhomogène ainsi constitué présente évidemment un grand intérêt, mais pose des difficultés méthodologiques. Lorsqu'ils sont soumis à un gradient de température macroscopique, on assiste en effet à un couplage entre conduction dans le solide et convection dans le fluide. Selon la disposition relative du gradient et de la gravité, divers types de convection sont observables, et la conductivité thermique apparente, par exemple, peut varier dans des proportions appréciables. Il est d'autre part important dans certaines applications de déterminer les seuils d'apparition des régimes instationnaires. Cette étude a pour but de répondre à cet ensemble de questions à l'aide d'outils numériques adaptés.

Contenu

Nous avons abordé le problème de deux façons différentes. Nous nous sommes d'une part intéressés au problème académique de la convection dans une cavité cylindrique soumise à une condition de température de type Dirichlet sur sa périphérie. En raison de la spécificité de la géométrie, les équations de Navier-Stokes instationnaires en formulation vitesse pression et exprimées en coordonnées polaires ont été résolues à l'aide d'une méthode spectrale couplant séries de Fourier dans la direction azimutale et polynômes de Chebyshev dans la direction radiale. Nous avons ainsi examiné l'évolution de la structuration de la solution stationnaire dans une large gamme de valeurs du nombre de Rayleigh et de Prandtl. Nous avons également proposé une modélisation de la structuration de l'écoulement en projetant les équations de Navier-Stokes à l'ordre le plus bas sur les modes de Fourier. La solution numérique de ce système de deux équations différentielles non-linéaires produit des solutions qui sont en bon accord avec les solutions stationnaires fournies par la résolution complète, tant en ce qui concerne la structure du champ de température que la valeur de la stratification ou le nombre de Nusselt. (cf figure 1). Nous avons d'autre part développé une méthodologie permettant de résoudre le problème conducto-convectif couplé. Celle-ci fait appel à une discrétisation de type maillage cartésien sur tout le domaine, la présence de la zone solide étant modélisée à l'aide d'une technique de pénalisation. L'équation de température est résolue en imposant la continuité de la température et du flux aux interfaces fluide/solide. Le champ de vitesse et de presion sont obtenus par une méthode de projection, qui garantit effectivement un flux de masse nul à l'interface fluide/solide. L'équation gouvernant la correction de pression est résolue par une technique multigrille. Cet algorithme permet d'intégrer dans le temps les équations instationnaires gouvernant le problème couplé.

Situation

Nous avons récemment plus particulièrement porté notre attention sur la détermination des paramètres critiques correspondant à la perte de stationnarité des équations de Navier-Stokes dans une large gamme du nombre de Prandtl. Ceci a été fait à la fois par intégration des équations instationnaires ainsi que par recherche directe de la solution stationnaire des équations de base (même instable) par une technique de type Newton et intégration des équations linéarisées ou par des méthodes de type Krylov. La figure 2 montre la structuration spatiale du champ de température et de sa fluctuation pour un nombre de Prandtl de 6 qui correspond à une brisure de symétrie. En ce qui concerne le problème couplé, nous avons également atteint le régime instationnaire dans quelques cas particuliers, et la figure 3 montre des instantanés du champ de température et de ses fluctuations, pour des conditions de périodicité sur les parois haute et basse, ce qui correspond à une structure répétitive dans la direction verticale.

Références

(1) S. Xin, P. Le Quéré et O. Daube "Convection naturelle en cavité circulaire différentiellement chauffée" Colloque de la Société Française des Thermiciens, Mai 1995, Poitiers, accepté pour publication dans la Revue Générale de Thermique

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