Etude numérique de l'effet dynamo dans la géométrie du tourbillon de Taylor-Green

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C. Nore en collaboration avec M. Brachet*, H. Politano et A. Pouquet**

Figure

Objet

La présence de champs magnétiques est une caractéristique importante de nombreux corps célestes dont la Terre. Parmi les divers mécanismes proposés pour expliquer l'existence de tels champs, le plus plausible semble celui de ``l'effet dynamo'', i.e. l'émergence et l'entretien des champs par leur interaction avec des champs de vitesse (souvent turbulents) dans un milieu conducteur dont la dynamique est décrite par les équations de la magnéto-hydrodynamique (MHD). Nous avons donc étudié numériquement l'effet dynamo dans la géométrie du tourbillon de Taylor-Green entretenu.

Description

Le tourbillon de Taylor-Green (TG) est un écoulement utilisé pour ses symétries en simulation numérique directe [1] pouvant servir de modèle à l'écoulement expérimental de Von Karman [2] . Nous avons mis en \oeuvre deux codes pseudo-spectraux intégrant les équations MHD: un code périodique général et un code TG symétrique dans lequel les symétries TG sont implémentées de façon à obtenir un gain (facteur 64) en temps calcul et place mémoire. L'intégration temporelle est effectuée par un schéma de leapfrog Crank-Nicolson. Le problème est caractérisé par deux nombres adimensionnels : le nombre de Reynolds cinétique $R^v=V_0 L_{int}/\nu$ et le nombre de Reynolds magnétique $R^m =V_0 L_{int}/\eta $, où V0 est la vitesse moyenne de l'écoulement, $\nu$ la viscosité cinématique, $\eta$ la diffusivité magnétique et Lint l'échelle intégrale. Ils sont reliés au nombre de Prandtl magnétique par $P^m = R^m/R^v= \nu/\eta$ (de l'ordre de 10-6 pour les liquides conducteurs usuels). Les conditions aux limites sur la vitesse et le champ magnétique peuvent être imposées différemment dans les deux codes et jouent un rôle déterminant [3].

Résultats et perspectives

Nous avons effectué des études paramétriques du nombre Reynolds magnétique critique à partir duquel croît un champ magnétique en fonction du nombre de Reynolds cinétique avec les deux codes. Pour le code périodique général, il y a croissance du champ magnétique (cas (a) de la Fig. 1). Le mode croissant est alors de la forme : ${\bf b}= \Big( (a_x, a_y, 0) \ \exp(iz) + c.c. \Big)$, où c.c. signifie le complexe conjugué. Ainsi, dans un plan horizontal à z=constant, le champ magnétique est constant (``slab mode''). Avec le code TG symétrique, nous avons testé différentes échelles de forçage : grande échelle (k0=1) et petite échelle (k0=3). Le forçage à k0=1 n'a pas montré d'effet dynamo pour les nombres de Reynolds cinétique et magnétique choisis (cas (b) et (c) de la Fig. 1). Le forçage à k0=3 permet d'obtenir l'effet dynamo pour des nombres de Reynolds magnétique au-delà de 40-75 suivant le nombre de Reynolds cinétique (voir Figs. 1 et 2). Un dispositif expérimental dans la géométrie de Von Karman utilisant du gallium liquide n'a pas mis en évidence l'effet dynamo [4] mais nos résultats laissent espérer l'obtention d'un effet dynamo dans le cas d'utilisation de sodium liquide [5].

Références

[1] M. E. Brachet, D. I. Meiron, S. A. Orszag, B. G. Nickel, R. H. Morf & U. Frisch; 1983, J. Fluid Mech. 130, p. 411.
[2] S. Douady, Y. Couder & M. E. Brachet; 1991, Phys. Rev. Lett. 67, p. 983.
[3] C. Nore, M. Brachet, H. Politano & A. Pouquet; 1997, Physics of Plasmas 4, p. 1.
[4] P. Odier, J.-F. Pinton & S. Fauve; 1998, Phys. Rev. E 58, p. 7397.
[5] S. Fauve , J.-F. Pinton & F. Daviaud; 1999, private communication.

*Laboratoire de Physique Statistique, ENS, Paris
**Observatoire de la Côte d'Azur, Nice

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