Figure

Objet

En cavité différentiellement chauffée, la transition à la turbulence se fait par une première instabilité des couches limites turbulentes verticales (1). Toutefois la route vers la turbulence n'a pas encore été totalement explorée. Avant d'aborder des situations plus complexes, nous étudions ici le cas simplifié de la double couche limite - une cavité avec des conditions aux limites périodiques dans la direction verticale. Nous utilisons la Décomposition Orthogonale(POD) pour extraire les caractéristiques essentielles du problème.

Description

Nous considérons les équations bi-dimensionnelles de l'approximation de Boussinesq pour une cavité différentiellement chauffée avec des conditions aux limites périodiques dans la direction verticale, pour un nombre de Rayleigh un peu au-dessus de la valeur critique. Reprenant le travail de S. Xin(2), nous nous intéressons à deux longueurs de référence différentes L_ref. La première correspond au nombre d'onde critique L_ref=1.45, et la deuxième à cinq fois cette longueur L_ref=7.25. Dans le premier cas, la solution stable est périodique en temps, tandis que dans le second cas on observe des mouvements quasipériodiques.

La POD est appliquée à chaque solution pendant une période. Nous cherchons les structures qui sont le mieux corrélées avec un ensemble d'échantillons de la solution, et calculons pour cela les fonctions propres et valeurs propres du tenseur d'autocorrélation spatiale de la solution. Le signal peut alors être décomposé en une infinité de structures spatiales dont l'amplitude varie avec le temps. En raison de l'homogénéité du problème dans la direction verticale, les modes de la POD se réduisent aux modes de Fourier dans cette direction, et le problème aux valeurs propres doit être résolu dans la direction horizontale seulement.

Le tenseur d'autocorrélation spatiale instantanée est calculé pour la variable où u et w sont les composantes du champ de vitesse, est la température et une constante arbitraire. Le choix de X signifie que les interactions entre la vitesse et la température, qui jouent un rôle essentiel, sont explicitement prises en compte dans notre décomposition. Comme Lumley et Poje (3) l'ont suggéré, nous avons essayé d'équilibrer les contributions provenant du champ de vitesse et de la température en choisissant où u' et sont les intensités caractéristiques des champs de vitesse et de température correspondants. Nous rappelons qu'afin de préserver les propriétés de la solution, aucune symétrie n'a été imposée a priori sur le tenseur d'autocorrélation.

Les figures 1 et 2 représentent les écoulements instantanés. Les quatre premières valeurs propres (n=4) du spectre de la POD sont représentées en figure 3 pour chacun des deux cas. L' énergie de la POD (une combinaison de l'énergie cinétique et de l'énergie thermale) est mieux répartie entre les modes verticaux dans le deuxième cas, mais reste dans les deux cas concentrée dans un petit nombre de modes. On observe pour le premier cas que les valeurs propres sont ordonnées par paires, ce qui, comme le montre la figure 4, reflète la centro-symétrie de la solution. En revanche, comme le montrent les figures 3 et 5, il y a rupture de symétrie dans le deuxième cas. Cette rupture est plus particulièrement accentuée pour les premiers modes verticaux.

Résultats et perspectives

Les résultats préliminaires présentés ici illustrent comment la POD permet de faire apparaître les symétries spatio-temporelles d'un système. Notre prochaine étape sera de construire les modèles dynamiques associés et de rechercher les mécanismes à l'origine des différents comportements dynamiques observés.

Références

[1] P. Le Quéré, Thèse d'Etat, Université de Poitiers, 1987.
[2] S. Xin, Thèse de Doctorat, Université Paris XI, 1993.
[3] J. Lumley and A. Poje : <<Low-Dimensional Models for Flows with Density Fluctuations>>, Physics of Fluids 1997 (9).

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