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Objet

L'objectif est l'étude des transferts thermiques et des écoulements de convection naturelle dans un domaine fluide en présence d'une couche poreuse. Cette configuration modélise certaines applications rencontrées dans l'isolation thermique des locaux d'habitation. Après une première étude concernant la transition à l'instationnaire, on s'intéresse ici aux solutions stationnaires dans une cavité rectangulaire différentiellement chauffée et refroidie à flux homogène. On montre l'existence d'une solution analytique mono-dimensionnelle dans une fente d'extension verticale infinie. Cette solution est comparée à la solution numérique en cavité fermée.

Description

L'écoulement dans la cavité est modélisé en 2D par les équations de Navier-Stokes et de l'énergie dans l'hypothèse de Boussinesq, avec un terme de pénalisation dans la couche poreuse qui dépend du nombre de Darcy (Da). Les parois horizontales sont adiabatiques. On fixe le rapport de forme de la cavité (A=5) et l'épaisseur de la couche poreuse (e=1/4 de la largeur de la cavité). Le système adimensionné fait alors intervenir 3 paramètres : le nombre de Rayleigh (Ra) construit sur le flux donné aux parois verticales, le nombre de Prandtl (fixé à Pr= 0.71), et le nombre de Darcy (Da), caractérisant la perméabilité du milieu poreux.

Les solutions numériques sont obtenues en intégrant le système jusqu'à la solution stationnaire sur un maillage régulier , par une méthode de projection utilisant un schéma d'Euler retardé d'ordre 2. La figure 1 montre un exemple de champs de température, de pression et de fonction de courant. On note l'existence d'une large zone centrale où l'écoulement est quasiment indépendant de l'altitude et parallèle aux parois verticales de la cavité. Dans cette zone, le champ de température est stratifié verticalement linéairement. Ces résultats généralisent ceux obtenus en cavité fluide [1] et suggèrent également l'existence d'une solution parallèle dans la partie centrale de la cavité.

Dans le cas d'une fente d'extension verticale infinie, une solution parallèle existe sous la condition nécessaire et suffisante que le champ de température soit stratifié verticalement, avec un paramètre de stratification S arbitraire. L'équation donnant la composante verticale de la vitesse peut alors être découplée de l'équation en température. Le champ de vitesse est obtenu par la résolution de deux équations différentielles du 4ème ordre, que l'on résout par Mathematica.

Résultats et perspectives

Les profils de température et de vitesse verticale sont comparés avec les profils obtenus numériquement à mi-hauteur de la cavité fermée. Pour la comparaison, le paramètre de stratification est fixé, pour chaque choix des paramètres Ra et Da, par les résultats obtenus sur la cavité fermée. La figure 2 montre un exemple de comparaison. L'accord est excellent. La figure 3 montre les profils obtenus à Ra = 10⁶ pour plusieurs valeurs de Da. Pour Da=10^-2 (milieu poreux très perméable), et Da=10^-6 (milieu poreux très imperméable), on retrouve le cas de la cavité fluide avec le rapport de forme correspondant. Pour Da=10^-4, on note que la vitesse maximale dans la couche limite descendante est réduite de 25% par rapport au cas fluide.

On souhaite à présent compléter cette étude en reliant la stratification S aux paramètres Ra, Da, et A, en s'inspirant de l'étude en cavité fluide [1]. Des comparaisons avec les résultats expérimentaux de [2] sont également envisagées.

b>Références

[1] S. Kimura, A. Bejan : <<The boundary layer natural convection regime in a rectangular cavity with uniform heat flux from the side>>. Journal of Heat Transfer, 106, 98-103, 1984.
[2] Le Breton : Thèse de l'Université de Bordeaux - 1993.

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