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Objet

L'objectif de ce travail est de mettre au point une technique d'approximation des équations de Navier-Stokes basée sur la technique des joints développée par C. Bernardi et Y. Maday et une technique de pas fractionnaire du type projection. L'algorithme se présente sous la forme d'une marche en temps où chaque pas de temps est divisé en deux sous-pas: le premier consiste en un problème de convection/diffusion et le second en un problème de Poisson qui assure l'incompressibilité de la vitesse.

Description

Nous avons développé un cadre fonctionnel qui prend en compte les caractères mathématiques différents des deux sous pas. Dans le premier sous-pas on approche le champs de vitesse par une technique de décomposition de domaine avec joints, alors que dans le second sous-pas la contrainte de continuité faible imposée sur la vitesse par les joints est relaxée. L'algorithme proposé est inconditionnellement stable et convergent. L'originalité de cet algorithme est que l'étape de projection correspondant au second sous-pas se réduit à résoudre autant de systèmes linéaires indépendants que de sous-domaines; c'est-à-dire que cette étape est complètement parallèle. Un programme de calcul basé sur une approximation éléments finis mixtes P₁-iso-P₂/P₁ avec joints en dimension 2 a été mis au point. Le langage de programmation est Fortran 90 et le protocole de parallélisation est MPI.

Résultats et perspectives

Une analyse de convergence de l'algorithme a été réalisée. Sur la figure 01 on montre les courbe de convergence de la méthode. L'erreur sur la pression en fonction du pas de temps pour trois valeurs du pas d'espace h est représentée à gauche; l'erreur sur la vitesse est à droite. Le programme a été testé sur le problème de la cavité entrainée à Reynolds 5000 et Reynolds 10000. Sur la figure 02 on a représenté la pression et les lignes de courant pour Re=5000. Dans la table 01 on a reporté l'évolution du temps de calcul pour l'étape de prédiction et l'étape de projection en fonction du nombre de processeurs pour un maillage P₁ de 66049 noeuds. En passant de 16 à 32 processeurs l'accélération du temps de calcul (speed up) est de l'ordre de 1.9; en passant de 32 à 64 on gagne encore un facteur 1.88 sur le temps de calcul.

Pour illustrer les possibilités de la combinaison de la méthode des éléments finis et de la méthode des joints, il est prévu de réaliser des tests sur des géométries complexes du type profiles d'ailes.

Référence

[1] A. Ben Abdallah, J.-L. Guermond : "A fully parallel mortar finite element projection method for the solution of the unsteady Navier-Stokes equations". ECCOMAS 96, Septembre 1996, Paris, Wiley.

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