Figure

Objet

L'objectif de ce travail est la détermination de l'écoulement instationnaire visqueux dans une roue centrifuge de turbopompe cryogénique. Ces écoulements ont pour caractéristique d'être à grande vitesse avec une forte rotation. On peut donc s'attendre à la coexistence en leur sein de zones pleinement turbulentes et de zones transitionnelles voire laminaire. Pour cette raison, nous développons une approche Simulation des Grosses Structures qui nous semble bien adaptée à la prise en compte de ces caractéristiques. Pour la mise en oeuvre numérique de cette approche, nous avons développé une méthodologie numérique basée sur l'utilisation de la formulation vitesse-tourbillon, dite V-w, des équations de Navier-Stokes sur un maillage structuré non orthogonal.

Contenu

L'utilisation de la formulation V-w soulève un certain nombre de difficultés théoriques que l'on peut classer en deux catégories:

1.Il est important de définir des opérateurs gradient, divergence et rotationnel discrets de telle façon que les relations vectorielles classiques: div(rot)=rot(grad) =0 soient également vérifiées au niveau discret. Pour cela nous avons développé sur un maillage curviligne quelconque un formalisme basé sur un positionnement décalé des différentes variables et sur l'utilisation des composantes covariantes et contravariantes des champs de vecteurs.

2.Lorsque le domaine de calcul n'est pas simplement connexe, ce qui est le cas pour les grilles d'aubes, la formulation V-w n'est équivalente aux équations originelles en variables primitives que si des conditions supplémentaires de circulation sur des circuits entourant les trous du domaine sont remplies. L'écriture soigneuse de ces conditions nous permet d'assurer effectivement l'uniformité de la pression et d'éviter ainsi des sauts de pression non physiques au bord d'attaque.

Situation

La résolution des équations de Navier-Stokes en V-w se ramène toujours en dernier ressort à d'abord résoudre l'équation de transport du tourbillon avec des conditions aux limites appropriées puis à calculer le champ de vitesse en résolvant un problème div-rot. Celui-ci consiste à calculer un champ de vecteurs connaissant son rotationnel, sa divergence et ses composantes normales sur les frontières. On s'est attaché à résoudre ce type de problèmes (figure 1) en définissant soigneusement les opérateurs différentiels discrets sur un maillage curviligne non orthogonal. Cette procédure a ensuite été incluse dans une résolution Navier-Stokes dont on voit un exemple sur la figure 2 pour l'écoulement autour d'un cylindre circulaire sur un maillage non orthogonal exagérément distordu.

Références

(1) O. Daube, Ta Phuoc Loc, F. Bertagnolio, J. Fontaine, S. Thibeau : "Sur la formulation vitesse-tourbillon des équations de Navier-Stokes en incompressible". Colloque CNES Ecoulements propulsifs en transports spatiaux, Bordeaux, septembre 1995

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