Figure

Objet

L'approximation numérique des équations de Navier-Stokes formulées en fonction de courant/vorticité dans des domaines 2D multiplement connexes est moins simple et moins bien comprise que dans des domaines simplement connexes. En fait les solutions des équations de Navier-Stokes en variables non primitive autour d'un ou plusieurs corps ne sont admissibles que si le champ de pression qu'elle engendrent est une fonction périodique le long de tout chemin entourant les obstacles contenu dans le domaine fluide. La situation la plus simple représentative de ce genre de difficulté topologiques est le cas de l'écoulement autour d'un cylindre. L'objectif du présent travail est d'analyser l'origine des équations supplémentaires qui assurent que la pression est monoévaluée et de donner de ces équations une formulation variationnelle utilisable dans le cadre d'une approximation mixte par des éléments finis.

Contenu

Dans ce travail on exhibe une formulation (faible) variationnelle qui permet de construire une approximation découplée des équations de Navier-Stokes linéarisées et approchées en temps. La méthode proposée conduit à résoudre à chaque pas de temps un petit système linéaire symétrique pour déterminer la valeur de la fonction de courant sur les composantes connexes de la frontière (ie. les frontières solides internes). L'origine de ce petit système additionnel a été analysée, et on montre qu'il résulte directement de l'équivalence de la formulation variationnelle des équations primitives avec la formulation variationnelle des équations écrites en fonction de courant/vorticité. Nous avons aussi considéré la possibilité d'utiliser la méthode dans le cadre de conditions aux limites non standards.

Situation

La solution découplée a été mise en oeuvre dans le cadre d'une approximation par éléments finis P1/P1 et utilisant la technique de Glowinski-Pironneau pour résoudre les problèmes biharmonique associés. Pour illustrer les possibilités de la technique nous avons simulé l'écoulement instationnaire autour d'un profil NACA 0012 à une incidence de 34^o pour un Reynolds de R=1000. Les lignes de courant de la solution aux temps adimensionnels t=1.6 et t=3.6 sont représentées sur les figures 1 et 2 à gauche. A titre de comparaison nous avons aussi représenté sur les figures 1 et 2 à droite, les lignes de courant obtenues aux mêmes temps par une méthode de projection¹ qui utilise un maillage d'éléments finis deux fois plus grossier. Toutes les structures tourbillonnaires du décrochage instationnaire sont correctement prédites. Le second exemple présenté concerne l'écoulement autour d'un système hypersustentateur constitué d'un becquet de bord d'attaque, d'une aile et d'un volet de bord de fuite. L'angle d'incidence est de 25^o. Sur les figures 3 et 4 (à gauche) nous avons représenté les lignes de courant de la solution aux temps t=2.8 et 3.6 pour un nombre de Reynolds de l'ordre de R=500. Sur la partie droite des figures 3 et 4 nous avons représenté les lignes de courant obtenues par une méthode de projection¹ en formulation u-p. La comparaison des deux calculs montre clairement que l'approximation [[omega]]-[[psi]] que nous proposons prédit correctement les écoulements instationnaires 2D dans des domaines multiplement connexes.

Références

(1) J.-L. Guermond, L. Quartapelle, "On the approximation of the unsteady Navier-Stokes equations by finite element projection methods", rapports LIMSI 95-06, 95-14 et soumis à J. Comput. Phys. and Numer. Math. 1995.

(2) J.-L. Guermond, L. Quartapelle, "Uncoupled [[omega]]-[[psi]] formulation for plane flows in multiply connected domains", rapport LIMSI 95-27 et soumis à M3AS 1995.

Retours Groupe Dynamique des Fluides

	Dpt Mécanique		Sommaire		Présentation