Figure

Objet

La propagation du son dans un matériau poreux à structure rigide saturé par un gaz formant une phase connexe est un phénomène dispersif, dont l'étude présente un intérêt particulier dans différentes applications : matériaux acoustiques utilisés pour l'absorption du son, propagation du son au dessus du sol, caractérisation non destructive des structures poreuses. Dans un traitement macroscopique approprié de ce phénomène (la perturbation acoustique est supposée être de petite amplitude et de grande longueur d'onde par rapport aux dimensions caractéristiques des pores). On introduit deux susceptibilités ndépendantes (1) [[rho]]([[omega]]) et K([[omega]]) qui relient la vitesse macroscopique <v> du gaz saturant le milieu poreux à la pression <p> (le symbole <> désigne une moyenne spatiale sur une petite région contenant plusieurs pores).

Contenu

La dépendance en fréquence de la quantité [[rho]]([[omega]]) exprime une dispersion temporelle induite par certains processus de diffusion de la vorticité dans le fluide, qu'il est commode de regarder comme la manifestation de l'établissement dans le fluide d'une "polarisation visqueuse". La dépendance en fréquence de K([[omega]]) exprime une dispersion temporelle induite par certains processus de diffusion thermique, regardés comme correspondant à l'établissement d'une "polarisation thermique". En fait, dans ce problème acoustique, les deux susceptibilités [[rho]]([[omega]]) et 1/K([[omega]]) jouent le rôle des susceptibilités [[epsilon]]([[omega]]) et u([[omega]]) pour le problème analogue de la propagation d'une onde électromagnétique au travers d'un milieu matériel, et les équations de transport jouent le rôle des équations de Maxwell dans la matière. Nous avons indiqué précédemment (2) comment on pouvait tirer en principe les fonctions "densité" [[rho]]([[omega]]) et "incompressibilité" K([[omega]]), de la forme géométrique de l'interface solide-gaz, i.e. de la microgéométrie considérée. On résout deux problèmes microscopiques élémentaires indépendants, l'un du type Stokes, l'autre du type Fourier. Les fonctions [[rho]]([[omega]]) et K([[omega]]) se déduisent des solutions microscopiques v et [[Theta]] par une prise de moyenne convenable.

Situation

On présente ici des résultats simultanément pour [[rho]]([[omega]]) et K([[omega]]), pour un réseau de cylindres solides parallèles pour différentes porosités 0.3 < [[phi]] < 0.999 (la modélisation simplifiée d'une laine de verre, dans le cas des grandes porosités [[phi]] = 0.99). Le problème est résolu numériquement en 2D par une méthode d'éléments finis P1 et comparé avec un modèle semi-analytique. Il apparaît que certains facteurs de forme (resp. C et p, C' et p') utilisés dans le modèle semi-analytique et qui caractérisent la géométrie respectivement dans les problèmes visqueux et thermique, représentent essentiellement le même comportement : p=f(C) et p'=f(C'). Le calcul de ces mêmes facteurs de forme C et p peut être tiré de [[rho]]([[omega]]) donné dans (3) en résolvant le problème en 3D dans le cas d'un réseau de sphères. On constate que la corrélation p=f(C) en 3D est similaire à celle du 2D. En conclusion, le jeu de paramètres géométriques utilisé dans le modèle semi-analytique de Pride et al. (4) paraît suffisant pour obtenir une description précise des fonctions [[rho]]([[omega]]) et K([[omega]]) dans une large gamme de fréquences (10^-3<=[[omega]]<=10⁵). En outre, une même corrélation semble exister dans le couple de facteurs de forme C, p qui interviennent dans le problème visqueux, et le couple C', p' qui interviennent dans le problème thermique.

Références

(1) T. Lévy et E. Sanchez-Palencia - J. Math. Ann. Appli. 1977, 61, 813-834

(2) M. Firdaouss, JL. Guermond, D. Lafarge, O. Pironneau, Congrès SFT95, Poitiers

(3) A.M. Chapman, J.J.L. Higdon - Phys. Fluids A, 1992, 10, 2099-2116.

(4) S.R. Pride, F.D. Morgan, A.F. Dashen - Phys. Rev. 1993, 47, 4964-4978 

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