Figure

Objet

On considère un écoulement dans une cavité rectangulaire différentiellement chauffée partiellement remplie d'une couche poreuse adjacente à la paroi chaude. Cette configuration modélise certaines applications rencontrées dans l'isolation thermique des locaux d'habitation. Les valeurs des paramètres correspondant à la perte de stabilité des solutions stationnaires des équations (nombres de Rayleigh) sont quantifiées en fonction du nombre de Darcy du milieu poreux. On caractérise la dynamique des solutions instationnaires au delà du seuil. Cette étude est réalisée pour des rapports de forme de la cavité compris entre 1 et 10.

Contenu

L'écoulement dans la cavité est modélisé en 2D par les équations classiques de la convection naturelle avec un terme de pénalisation dans le milieu poreux qui dépend du nombre de Darcy (Da). Nous ne nous interrogerons pas dans un premier temps sur la validité de ces équations qui modélisent de manière unifiée l'écoulement dans la phase fluide et dans le milieu poreux. Le nombre de Rayleigh (Ra) prend en compte le rapport des diffusivités thermiques du fluide et du milieu poreux saturé, le nombre de Prandtl (Pr) dépend de la conductivité thermique équivalente. Les parois verticales chaude et froide sont maintenues à température constante, les parois horizontales sont adiabatiques. On utilise la méthode MAC sur un maillage cartésien rectangulaire. La discrétisation temporelle est basée sur une méthode de projection utilisant un schéma d'Euler retardé d'ordre 2. L'équation de Poisson est résolue par une méthode directe basée sur une diagonalisation partielle. L'état initial correspond à la solution de conduction stationnaire. Le nombre de Rayleigh critique correspondant à la transition stationnaire-instationnaire peut être déterminé de façon précise dans chaque configuration, en admettant que la transition correspond à une bifurcation de Hopf, et en notant que la période des solutions stationnaires reste alors constante au voisinage de la bifurcation (2).

Situation

Une première étude a été effectuée dans une cavité de rapport de forme de 5. Cette cavité a déjà été étudiée numériquement et expérimentalement (1). Des expériences sont en cours de réalisation au LET de l'ENSMA de Poitiers (F. Penot), ce qui permettra une confrontation avec nos calculs. Les premières simulations montrent que la présence du milieu poreux stabilise nettement le système d'équations par rapport à la situation de référence de Boussinesq. On souhaite ensuite montrer les variations du nombre de Rayleigh critique (basé sur la hauteur) en fonction du nombre de Darcy. Pour les valeurs limites du nombre de Darcy, on pense retrouver la valeur critique (Ra=10⁸) du cas de la cavité fluide, qui ne dépend pas du rapport de forme de la cavité (2). Pour un nombre de Darcy intermédiaire (10^-6 < Da < 10^-2), le Ra critique présententerait un maximum dont la valeur et le Da correspondant dépenderaient du rapport de forme Rf. On montre que l'épaisseur de la couche poreuse n'a pas d'influence sur les résultats. La figure présente un instantané du champ de température et de ses fluctuations ainsi que les isovaleurs des lignes de courant pour une valeur légèrement supercritique de Ra pour un Da égal à 10^-5 (pour une épaisseur de la couche poreuse égale à 1/4 de la largeur de la cavité).

Références

(1) P. Le Breton. Thèse de l'Université de Bordeaux - 1993

(2) P. Le Quéré. Thèse d'état de l'Université de Poitiers - 1987.

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