Figure

Objet

Pour des écoulements en géométrie bornée, la transition à la turbulence s'effectue en général au travers de bifurcations successives communément appelées "route vers le chaos". Nous nous intéressons depuis plusieurs années à cette route vers le chaos dans une classe d'écoulements correspondant à des configurations géométriques constituées de disques en rotation différentielle d'extension radiale finie. Ces configurations sont représentatives de nombreuses configurations d'intérêt industriel, turbomachines, systèmes de lock-up de convertisseurs de couple pour n'en citer que deux. Notre objectif est de : déterminer la séquence de bifurcations par lesquelles un tel écoulement devient chaotique, d'analyser les mécanismes physiques à l'origine des instabilités, de comprendre la dynamique des solutions instationnaires. De fait cette étude, entamée dans le cadre du travail de thèse de N. Cousin-Rittemard avec le soutien du FIRTECH MEMTA, devait initialement rapidement évoluer vers la simulation d'écoulements en régime pleinement chaotique. Les difficultés que nous avons rencontrées dans la détermination fiable et précise ne serait-ce que de la première bifurcation stationnaire/instationnaire nous ont amenés à focaliser notre attention sur cette première transition et à disséquer les difficultés rencontrées.

Contenu

Nous nous sommes initialement limités à considérer les écoulements sous l'hypothèse d'axisymétrie. Les équations de Navier-Stokes ont été intégrées sous forme instationnaire, à l'aide de plusieurs algorithmes utilisant soit une formulation fonction de courant fonction tourbillon des équations et une discrétisation spatiale de type différences finies, soit une formulation vitesse-pression et une discrétisation spatiale de type pseudo-spectrale. Ces deux méthodologies différentes ont abouti aux mêmes conclusions. La majeure partie des essais initiaux ont été conduits dans des cavités d'élancement radial de l'ordre de 6 et avec diverses conditions aux limites en périphérie. Pour simplifier, disons qu'il nous a été relativement facile d'obtenir des solutions instationnaires. Cependant, lorsque nous avons cherché à réduire l'encadrement de la valeur du nombre de Reynolds critique, nous n'avons pu obtenir des solutions périodiques au voisinage du seuil, comme il est classique en géométrie bornée. Nous nous sommes alors interrogés sur les raisons de ce comportement troublant et diverses hypothèses ont été successivement examinées, singularité des conditions aux limites sur le bandeau périphérique, présence ou non de l'axe de rotation dans le domaine. Nous sommes arrivés à la conclusion que les difficultés étaient principalement dues aux difficultés d'approcher correctement la solution aux valeurs élevées du nombre de Reynolds auxquelles se situe la transition, couplées avec le fait que les couches limites qui enserrent le noyau central deviennent localement convectivement instable pour des valeurs très inférieures du nombre de Reynolds et, troisième ingrédient, avec le fait que l'opérateur d'évolution est fortement non-normal. Tout défaut d'approximation va être alors amplifié par l'opérateur d'évolution spatio-temporel et ainsi résulter en une solution instationnaire éventuellement directement chaotique, alors même que le point de bifurcation de Hopf du système discret n'est pas encore atteint. Les longs temps d'intégration nécessaires pour observer le comportement asymptotique sont un obstacle supplémentaire à cette approche. Nous avons cependant pu mettre en évidence un certain nombre d'éléments physiques intéressants, notamment le fait que les instabilités prenaient initialement la forme d'ondes progressives se propageant de la périphérie vers le moyeu dans la couche de Bodewadt et que, en raison de leur ralentissement au voisinage de l'axe dû aux effets de courbure, ces ondes sont capables d'exciter les ondes inertielles dans le coeur en rotation presque rigide.(figure 1)

Situation

Nous avons récemment, en revenant au cas d'une cavité de faible extension radiale, et en considérant le cas d'un bandeau fixe (ce qui est le cas le plus favorable car l'instabilité y survient pour le nombre de Reynolds le plus faible par rapport aux autres types de conditions généralement imposées) pu mettre en évidence une solution véritablement périodique au voisinage de la transition, dont la période et l'amplitude des oscillations sont indépendantes de la résolution (figure 2). Ceci nous laisse penser que dans ce cas au moins, nous avons pu prédire avec succès la valeur critique corresondant à la bifurcation de Hopf. Signalons toutefois, que le simple fait de changer les conditions aux limites de bandeau fixe à bandeau tournant, ce qui accroit la valeur du nombre de Reynolds critique d'un facteur 3 à 4 nous fait retomber dans les difficultés signalées précédemment.

Références

(1) N. Cousin-Rittemard, O. Daube et . P. Le Quéré : "Transition to unsteadiness between rotating disks " Euromech 336, Trondheim, Juin 96

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