Figure

Objet

La conception récente d'une méthode de découplage précise et stable des champs de vitesse et pression (1, 2) ouvre la voie à une expérimentation numérique des écoulements 3D instationnaires (2, 3). Nous l'avons appliquée pour déterminer la première transition à l'instationnarité dans une cavité cubique différentiellement chauffée.

Contenu

Les équations adimensionnelles de Boussinesq ont été résolues dans une cavité cubique, contenant de l'air, caractérisée par des conditions limites de non glissement sur toutes les faces du cube. Deux faces verticales en vis à vis sont fixées thermiquement, toutes les autres sont adiabatiques. Une méthode pseudospectrale a été utilisée pour évaluer les dérivées spatiales des champs de vitesse et thermique (1). L'intégration temporelle a été faite à l'aide d'un schéma classique de différence finie du second ordre (Crank-Nicolson-Adams-Bashforth). Pour chaque valeur de Ra nous avons obtenu des écoulements 2D et 3D.

Les écoulements stationnaires

La plus haute valeur de Ra pour laquelle la convergence à la stationnarité a été déclarée est 3.3x10⁷. Cette valeur est environ six fois plus faible que la valeur critique correspondante obtenue en cavité carrée (Le Quéré et Behnia, soumis à J.F.M.). Les résultats obtenus permettent de donner une première caractérisation de la structure tridimensionnelle des écoulements pré-transitionnels.

(a) La tridimensionnalité n'est pas quantitativement dominante dans le cube comme cela a déjà été observé par Haldenwang et Labrosse (1986). Ainsi, le maximum de la composante en profondeur (y, la troisième) de la vitesse, n'excède pas 13% du maximum de la composante verticale.

(b) Le plan médian du cube (x, y=0, z) contient le maximum de la composante horizontale u (déjà présente en 2D) de la vitesse, qui ne diffère pas de celle du cas 2D. Ainsi, la cavité carrée peut être considérée comme une approximation pour évaluer les propriétés de transfert thermique du cube. Cependant, une considération de symétrie par rapport au plan médian (x, y=0, z) exige que l'écoulement dans ce plan soit significativement différent de celui en 2D.

(c) La composante verticale de la vitesse dépend de la troisième direction (profondeur). Son maximum est localisé près des parois terminales, à une distance y qui varie en Ra^-1/4 comme l'ont déjà observé Janssen et al (1995).

L'instationnarité.

Un état instationnaire apparaît pour des valeurs de Ra=3.4x10⁷ et Ra=3.5x10⁷, quand on démarre de l'écoulement stationnaire à Ra=3.3x10⁷ (figure 1). Quand on descend en valeur du nombre de Rayleigh à partir de 3.5x10⁷ pour aller à (3.4, 3.3, 3.2, 3.1)x10⁷, l'état stationnaire ne réapparaît que pour la dernière valeur indiquée ci-dessus. A la différence de la cavité carrée, un comportement d'hystérésis semble caractériser cette transition. Par ailleurs, tous les écoulements instationnaires ont en commun de briser la symétrie par rapport au plan médian (PM), alors qu'ils conservent tous la centro-symétrie (CS) caractéristique des écoulements 2D. Cette CS est clairement observée sur la figure 2. La brisure de symétrie PM est principalement localisée dans les coins supérieur gauche et inférieur droit correspondant au ressaut hydraulique. Du fait de la CS, chacune de ces deux régions est caractérisée par deux flux de matière opposés, l'un fort, l'autre faible; le bilan net entre les deux étant assuré par le reste du plan. La symétrie PM est restaurée pour l'écoulement à Ra=3.1x10⁷.

Tous ces résultats suggèrent fortement que le mécanisme qui est à l'origine de la transition à l'instationnarité dans la cavité cubique est de nature tridimensionnelle.

Références

(1) Batoul A, Khallouf H., Labrosse G. : "Une méthode de résolution directe (pseudo-spectrale) du problème de Stokes 2D/3D instationnaire. Application à la cavité entraînée carrée". C. R. Acad. Sci. Paris, t.319, série II , 1455-1461, 1994.

(2) Labrosse G., Tric E., H. Khallouf and M. Betrouni: "A direct (pseudospectral) solver of the 2D/3D unsteady Stokes problem. Transition to unsteadiness of air free convection in a differentially heated cubic cavity". Soumis à Applied Numerical Mathematics, Decembre 1995.

(3) Tric E., Labrosse G. and M. Betrouni: "Numerical experimentation of the first transition to unsteadiness of air free convection in a differentially heated cubic cavity with non active adiabatic walls". Proceedings IMACS-COST conference on computational fluid dynamics three-dimensional complex flows, Lausanne, September 1995.

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