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Objet

La fabrication de cristaux de grande qualité est une nécessité industrielle pour de nombreuses applications. L'électronique est toujours en quête de composants plus rapides et l'obtention de silicium parfaitement pur est un impératif technologique. La réalisation du mono-cristal passe par la solidification du fluide sur un germe cristallin. Cette étape, pratiquée dans un creuset, est génératrice d'impuretés, provenant de la présence de parois. L'idée de s'affranchir de conteneur, est à l'origine de la méthode de floating-zone (zone flottante). Un tube de polycristal positionné dans l'axe de la pesanteur est soumis à un chauffage, il passe en phase liquide et se re-solidifie sous la forme d'un monocristal. La stabilité latérale de la partie fondue impose un contrôle rigoureux sur sa hauteur. Malgré l'absence de parois, l'expérimentation montre la présence de dislocations dans le cristal provenant d'une convection importante et de mouvements instationnaires d'origine thermo-gravitationnelle ou thermo-capillaire. L'objectif de cette étude, est de déterminer la dynamique en fonction des paramètres de contrôle (Rayleigh, Prandtl, Marangoni).

Contenu

L'écoulement s'effectue dans une configuration cylindrique, qui, pour simplifier l'étude, sera supposé axisymétrique. Les équations sont écrites sous forme primitive et l'évolution temporelle est calculée par un code de projection-diffusion. Le calcul des solutions stationnaires est réalisé par un algorithme de Newton avec un préconditionnement de Stokes (méthode mise au point par L. Tuckerman et al.) : ([[Delta]]-[[alpha]]/[[Delta]]t), a connu et DT paramètre de préconditionnement. Les champs cinématiques et thermique obtenus, sont dépendants des paramètres de contrôle (Ra, Pr, Ma). Il est donc possible de prolonger ces solutions par continuation. Ceci est réalisé par une méthode de Newton et par suivi de la branche stationnaire par une extrapolation quadratique. L'algorithme de résolution permet de calculer des solutions aussi bien stables, qu'instables. La stabilité sera déterminée par le calcul des valeurs propres de l'opérateur d'évolution linéarisé autour de la solution stationnaire, par les méthodes de la puissance itérée et d'Arnoldi.

Situation

L'étude préalable a porté sur le préconditionnement des opérateurs pour l'accélération de la résolution d'une itération de Newton. Pour un résidu stationnaire et un temps de calcul les plus faibles possibles, il est préférable de travailler avec un paramètre de préconditionnement (DT) de l'ordre de l'unité. Le calcul du résidu est fortement dépendant du critère de convergence de la résolution du système linéaire. Pour un DT=O(10¹⁰) celui-ci est beaucoup plus sévère que pour DT=O(1), augmentant ainsi le temps CPU.

L'utilisation de la continuation en Marangoni (Ra=62000, Pr=.01) fait apparaître deux bifurcations noeud-col pour Ma1[[congruent]]1036 puis pour Ma2[[congruent]]732. La branche de solution, initialement stable, perd sa stabilité à Ma=Ma1 et la retrouve à partir d'un Marangoni inférieur Ma2, créant ainsi un phénomène d'hystérésis.

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