Figure

Objet

Le calcul numérique des instabilités hydrodynamiques est un outil puissant pour étudier les transitions et les mécanismes d'instabilités dans les écoulements. Nous appliquons à ce problème des nouveaux algorithmes pour le calcul itératif d'un sous ensemble des valeurs propres. Une transition, ou bifurcation, a lieu quand une ou plusieurs valeurs propres traversent l'axe imaginaire. Les valeurs propres recherchées sont donc les valeurs propres "vedettes" dont la partie réelle est maximale.

Contenu

Écrivant schématiquement les équations de Navier-Stokes comme dU/dt = N(U) + LU, où L représente les termes linéaires et N l'advection nonlinéaire, nous cherchons les valeurs et vecteurs propres du Jacobien A = NU + L. Avec le choix d'une discrétisation spatiale, A devient une matrice qui, pour des problèmes en deux ou trois dimensions, peut être très grande (de 10⁴ x 10⁴ à 10⁵ x10⁵). Une diagonalisation directe n'est donc pas envisageable. Les méthodes itératives trouvent une ou plusieurs valeurs propres dans un domaine donné du plan. Toutes sont basées sur la méthode des puissances itérées, qui calcule le vecteur propre dominant (associé à la valeur propre de module maximale) en multipliant un vecteur quelconque initial par des puissances élevées de A. Pour calculer les valeurs propres "vedettes", nous multiplions plutôt par l'exponentielle de A, ce qui revient simplement à une intégration temporelle de du/dt = Au. Un raffinement calcule plusieurs vecteurs propres y compris des paires de valeurs propres complexes conjuguées. Dans un premier stade, on intègre suffisamment longtemps pour amortir les vecteurs propres associés aux valeurs propres très négatives. Ensuite on construit le bloc H d'Arnoldi [1] qui représente A sur l'espace de Krylov et enfin on diagonalise H. La limitation de la méthode des puissances de l'exponentielle provient du fait que nous n'effectuons pas une multiplication par l'exponentielle exacte, mais par le schéma implicite-explicite (I - [[Delta]]tL)^-1(I + [[Delta]]tNU), qui est proche à exp([[Delta]]tA) seulement pour [[Delta]]t petit. Mais pour [[Delta]]t petit, exp([[Delta]]tA) et son approximation sont proches à l'identité et donc chaque multiplication accompli peu pour faire ressortir les vecteurs propres désirés. Nous souhaitons maintenant remplacer exp([[Delta]]tA) par A^-1; ceci s'appelle la méthode des puissances inverses et est le meilleur moyen de calculer les valeurs propres proches de zéro. La multiplication par A^-1 s'effectuera elle-même itérativement par la méthode des gradients conjugués, utilisant le préconditionnement de Stokes déjà utilisé pour calculer les états stationnaires par méthode de Newton [2]. Plus précisément, l'itération Aun+1 = un peut être ré-écrite comme (I - [[Delta]]tL)^-1 (NU + L) un+1 = (I - [[Delta]]tL)^-1un. L'opérateur du membre de gauche est à la fois bien conditionné (pour [[Delta]]t grand) et aussi accessible par le code temporel.

Situation

La méthode des puissances de l'exponentielle a été utilise pour étudier les transitions subies par l'écoulement entre deux sphères en rotation différentielle [2] et en convection [3]. Quelques résultats sont montrés ci-contre. Haut: Convection thermosolutale. Dans une géométrie rectangulaire admettant la centro-symétrie [4], les valeurs propres associées aux vecteurs propres centro-symétrique et anti-centro-symétrique sont presque identiques. Bas: Convection thermo-capillaire. En itérant, les trois premières valeurs propres "vedettes" convergent vers leurs valeurs finales avec des taux différents, celle avec la partie réelle maximale étant la plus précise.

Références

[1] Y. Saad : "Variations on Arnoldi's method for computing eigenelements of large unsymmetric matrices", Linear Algebra Appl. 34 , 269 (1980).

[2) C.K. Mamun & L.S. Tuckerman : "Asymmetry and Hopf bifurcation in spherical Couette flow", Phys. Fluids 7, 80 (1995).

[3] A. Bergeon, D. Henry, H. BenHadid & L.S. Tuckerman : "Marangoni pattern selection in binary mixtures subjected to the Soret effect. Part 1: two-dimensional boxes", to be submittted to J. Fluid Mech.

[4] S. Xin & P. LeQuéré : "Direct numerical simulations of two-dimensional chaotic natural convection in a differentially heated cavity of aspect ratio 4", J. Fluid Mech. 304, 87 (1995).

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