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Objet

Nous considérons ici un fluide soumis à la convection naturelle comme un système thermodynamique auquel est appliquée une analyse premier et second principes. Les bilans correspondants permettent de comprendre, premièrement les échanges entre énergie cinétique et énergie interne du fluide, deuxièmement la répartition entre les irréversibilités par conduction et celles dues à la viscosité. Il s'agit, à terme, d'étudier les compromis que le système trouve entre ces deux types d'irréversibilités.

Description

Premier principe : La conservation de l'énergie totale impose de garder dans l'équation de la chaleur le terme source dû à la dissipation visqueuse, même s'il est numériquement petit, cf. Figure 1. Il est habituellement admis que trois paramètres caractérisent un problème de convection naturelle (rapport d'aspect, Prandtl du fluide et nombre de Rayleigh). Un quatrième paramètre apparaît maintenant  : g.β.H/Cp, où H est la hauteur du fluide. Il se révèle indispensable pour établir les bilans entre les flux de chaleur aux parois, l'énergie interne du fluide et son énergie cinétique.

L'analyse plus détaillée de l'état stationnaire met en évidence que l'énergie cinétique dissipée par viscosité est continuellement régénérée par le système, ce qui conduit, premièrement à décrire le système réel selon le schéma de la Figure 2, deuxièmement à la notion de production de travail à l'intérieur du système, troisièmement à l'égalité en état stationnaire entre ce travail mécanique produit, l'énergie cinétique perdue dans les cisaillements et la chaleur engendrée correspondante.

Par ailleurs, l'analyse premier principe de l'approximation de Boussinesq fait apparaître que le fluide incompressible y est mis en mouvement par une force extérieure. À l'état stationnaire les flux de chaleur aux deux parois doivent donc être inégaux, cf. Figure 3. Avec le terme source visqueux dans l'équation de la chaleur et ce quatrième paramètre  g.β.H/Cp, un bilan exact d'énergie d'un système modélisé par l'approximation de Boussinesq peut être établi, en stationnaire comme en transitoire.

Second principe : Le travail mécanique que l'approximation de Boussinesq suppose apporté de l'extérieur (cf. Figure 3) doit correspondre au travail produit à l'intérieur du système réel (cf. Figure 2). Or, d'après le second principe, cette dernière énergie mécanique, qui est produite par un flux de chaleur passant de Th à Tc, est bornée : le rendement de conversion est forcément inférieur au rendement de Carnot. Cette expression du second principe conduit à une limite thermodynamique à la validité de l'approximation de Boussinesq, limite qui est atteinte lorsque le rendement de conversion issu des calculs égale le rendement de Carnot. Nous avons exploré cette limite avec le modèle de cavité différentiellement chauffée développé au LIMSI [1], pour le cas de l'air dans une cavité 2D carrée en état stationnaire. La Figure 4  montre que  g.β.H/Cp  y varie pratiquement en Ra^1/4. Enfin, les résultats numériques du Tableau 1 montrent que, sans terme source visqueux dans l'équation de la chaleur, les bilans second principe ne peuvent pas être fermés.

Résultats et perspectives

La limite thermodynamique de la validité de l'approximation de Boussinesq va être explorée pour d'autres valeurs du Prandtl. Puis la loi de minimisation des irréversibilités sera explorée, ainsi que la topologie des irréversibilités. Enfin, les changements dans la répartition entre les différents modes d'irréversibilités seront étudiés pour les passages à des écoulements multicellulaires ou instationnaires.

Références

[1] Gadoin E., Le Quéré P. et Daube O.: ``A general methodology for investigating flow instabilities in complex geometries: application to natural convection in enclosures''. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 372, pp. 175-208, 2001.

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