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Objet

L'objectif est d'étudier les écoulements d'air de convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée 2D, lorsque sont imposés entre les parois verticales de grands écarts de température, et que la viscosité varie non linéairement en fonction de la température. Des simulations numériques ont fait apparaître des séries temporelles surprenantes. La transition vers des états instationnaires semble être sous-critique. Au voisinage de la perte de stabilité, on observe, sur la branche à grande amplitude, une solution intermittente, caractérisée par des bouffées périodiques séparées par des états quasi-stationnaires. On peut interpréter ces résultats comme un passage lent à travers une bifurcation de Hopf ; un système d'équations modélisant ce passage lent permet d'obtenir des comportements qualitativement analogues.

Description

On note ε = (ΔT/2T₀) = 0.6 l'écart de température (grand) imposé rapporté à la température moyenne T₀. Les parois horizontales sont adiabatiques. La cavité a un rapport d'aspect vertical A=4, et sa largeur L sert de référence. Le nombre de Rayleigh est défini par Ra = PrgεL³ρ(T₀)²L³/μ(T₀)², où ρ(T) est donné par l'équation d'état, μ(T) par la loi de Sutherland, et le nombre de Prandtl Pr est maintenu constant. L'écoulement est modélisé par les équations de l'approximation faible nombre de Mach établies par Paolucci [1]. Ces équations sont intégrées sous forme instationnaire à l'aide d'un code volumes finis utilisant une méthode dérivée des méthodes classiques de projection en incompressible afin d'obtenir à chaque pas de temps des champs de vitesse à la divergence voulue. Afin de comprendre les résultats obtenus [2], nous avons également étudié un système d'équations différentielles ordinaires à quatre variables [3].

Résultats et perspectives

L'étude a été menée sur un maillage 128 x 156. La solution à Ra ≤2 x 10⁵ est stationnaire. Pour un nombre de Rayleigh égal à Ra = 2,3 x 10⁵, la température a un comportement intermittent~: en plusieurs points de la couche limite montante, on observe (Fig. 1a) une alternance périodique de bouffées instationnaires et d'états quasi-stationnaires. En analysant ces bouffées (Fig. 1b et 2), on montre que ce phénomène temporel local est associé au développement d'une onde se propageant à une fréquence élevée le long de la couche limite chaude avant de s'amortir presque totalement. Ce phénomène a été observé pour plusieurs maillages ce qui exclut qu'il soit dû à un artefact numérique. En diminuant le nombre de Rayleigh jusqu'à Ra = 2,0125 x 10⁵, la solution devient périodique. La fréquence est proche de celle prépondérante durant les bouffées, et les champs instantanés ressemblent à ceux relevés pendant les bouffées. Si l'on diminue encore le nombre de Rayleigh, le système redevient stable, mais on a mis en évidence un phénomène d'hystérésis (à Ra = 2,0125 x 10⁵, on a trouvé deux solutions stables, l'une stationnaire et l'autre oscillante).
Nous avons pu reproduire les aspects essentiels de ces bouffées à partir d'un modèle de passage lent à travers une bifurcation de Hopf. Les simulations obtenues par résolution des EDO de [3] sont représentées sur la Fig.~3. On note qu'un état quasi-stationnaire se déstabilise et devient oscillant à haute fréquence (pour t≈4.4 x 10⁵ sur la Fig. 3.b). Lorsque les oscillations s'amplifient, le système est modifié de telle sorte que l'état quasi-stationnaire redevient stable. Après un amortissement très lent des oscillations, le processus se répète. La ressemblance entre les variations temporelles obtenues dans la cavité fluide et dans le modèle EDO est frappante. Afin de pousser l'analyse de la transition, nous allons effectuer une analyse de stabilité linéaire, et comparer quantitativement avec la théorie de passage lent. Notre but est de comprendre l'origine physique des bouffées et de prédire la variation des solutions en fonction des divers paramètres.
 

Références

 [1] Paolucci : Sandia National Lab.~Report SAND 82-8257, 1982 (non publié).
[2] C.~Weisman, L.~Calsyn, C.~Dubois, P.~Le Quéré :  C.R.Acad.Sci., 329, IIb, 343-350, 2001.
[3] D. Barkley : J. Chem. Phys., 89, 5547-5559, 1988.

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