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Objet

Un écoulement qui devient instationnaire brise l'invariance par translation en temps ; un écoulement 2D qui devient 3D brise l'invariance par translation en espace. L'objectif de cette recherche est de savoir, pour un écoulement de convection naturelle 2D en cavité de profondeur infinie, laquelle de ces deux invariances est brisée en premier et donc d'examiner la pertinence de l'étude bidimensionnelle.

Description

Le fondement des études bi-dimensionnelles de la convection naturelle est que l'écoulement est invariant par translation dans la profondeur de la cavité. La brisure de cette invariance par translation se traduit par une bifurcation de la solution de base 2D, il s'ensuit que nous réalisons des études de stabilité linéaire d'une solution de base 2D par rapport à des perturbations tridimensionnelles (périodiques dans la troisième direction). Si on restreint les perturbations à rester bi-dimensionnelles, la stabilité de la solution de base par rapport à des perturbations 2D, la brisure de l'invariance par translation en temps par exemple, peut être également étudiée. Afin de réaliser de telles études numériques, nous avons mis en oeuvre une combinaison de méthodes, méthode de Newton préconditionnée, méthode d'Arnoldi et méthode de continuation. Les détails des méthodes employées se trouvent dans [1,2,3,4].

Résultats et perspectives

Nous avons appliqué cette méthodologie à une cavité carrée différentiellement chauffée avec parois horizontales conductrices et exploré une large gamme de nombre de Prandtl. Des études 2D (solution de base et perturbations 2D) ont été d'abord réalisées pour Pr = 0.015, 0.71 et 7, comparées avec les résultats dans la litérature [5,6] et étendues à Pr = 0.1, 1, 3 et 20. Des analyses de stabilité linéaire par rapport à des perturbations tridimensionnelles ont été ensuite effectuées grâce aux méthodes d'Arnoldi et de continuation~: nous avons tout d'abord fixé Pr = 0.71 pour valider l'ensemble de nos démarches numériques et étudié ensuite les autres Pr.
Les résultats globaux sont les suivants~: pour `grands' Pr (3, 7 et 20) des perturbations 2D sont plus dangereuses et l'invariance par translation en temps de la solution de base est brisée en premier ; pour Pr = 1 des perturbations 3D oscillatoires sont plus dangereuses et les modes instables sont connectés avec les modes 2D les plus instables ; pour `petits' Pr (0.71, 0.1 et 0.015) des perturbations 3D stationnaires sont les plus instables et les modes instables ne sont pas reliés avec les modes 2D les plus instables.
Ces résultats montrent que des études 2D de la transition vers l'instationnarité ont donc bien un sens pour de grands Pr. Il serait intéressant de savoir, pour de petits Pr, le sens que l'on peut donner aux études 2D de la transition vers l'instationnarité (les modes instables bi-dimensionnels peuvent-ils apparaître comme bifurcation secondaire ?) et d'étendre l'étude à d'autres géométries et conditions aux limites.

Références

 [1] C.K. Mamun et L.S. Tuckerman, Phys. Fluids, 7 (1), 80-91 (1995)
[2] A. Bergeon, D. Henry, H. Benhadid et L.S. Tuckerman, JFM, 375, 143-177 (1998)
[3] L.S. Tuckerman et D. Barkley, The IMA Volumes, vol 119 , 453-466 (2000)
[4] S. Xin et P. Le Quéré, Phys. Fluids, 13(9), 2529-2542 (2001)
[5] K.H. Winters,  J. Heat Transfer, 109, 894 (1987)
[6] A. Yu. Gelfgat et I. Tanasawa,  Num. Heat Transfer Part A, 25, 627-648 (1994)

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