Stabilisation par viscosité de sous-maille

Stabilisation par viscosité de sous-maille

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Objet

L'objectif de cette recherche est de mettre au point une technique de stabilisation pour l'approximation de Galerkin des équations aux dérivées partielles dominées par un opérateur différentiel d'ordre 1. L'idée de base consiste à introduire une approximation hiérarchique à deux niveaux et à ajouter une viscosité de sous-maille basée sur cette décomposition hiérarchique.

Description

Considérant deux maillages d'éléments finis emboîtés de taille 2h et h respectivement, on note $X_{2h}\subset X_h$ les deux espaces d'approximation correspondants. Cette décomposition s'écrit aussi $X_h = X_{2h} \oplus \tilde{X}_h$ . On peut alors définir l'opérateur de projection de X_h sur X_2h parallèlement à $\tilde{X}_h$ . Cet opérateur s'interprète comme un filtre. On construit alors une approximation de Galerkin du problème considéré auquel on ajoute une viscosité de sous-maille du type $h \int_\Omega \nabla(1-P_h u_h) \cdot \nabla (1-P_h v_h)$ où u_h est la solution approchée et v_h une fonction test. Lorsqu'on travaille avec un problème dont la solution développe des discontinuités, on élimine le phénomène de Gibbs en introduisant une viscosité non linéaire du type $h \int_\Omega \frac{\vert\nabla (1-P_h u_h)\vert}{\vert\nabla u_h\vert} \nabla u_h \cdot \nabla v_h$ .

Résultats et perspectives

Pour illustrer les performances de la méthode, on l'applique à trois problèmes différents. Le premier problème étudié dans la figure 1 est une équation de transport monodimensionnelle. Il s'agit de transporter dans un domaine périodique une gaussienne, un créneau et une courbe en cloche. On montre le résultat de la simulation correspondant à un temps de transport sur une distance égale à deux fois la taille du domaine.

Dans le second problème on résout le problème de tube à choc connu sous le nom de problème de Sod. On montre dans la figure 2 la densité, la vitesse et la pression à t=2. On vérifie que les chocs et la discontinuité de contact sont bien résolus. Dans le dernier problème on résout les équations de Navier-Stokes incompressibles avec une densité variable. Il s'agit d'un fluide lourd placé au-dessus d'un fluide léger avec un rapport de densité égal à 7. Il est quasiment impossible de résoudre ce problème par la technique de Galerkin standard. Le calcul est stabilisé par la technique de viscosité de sous-maille. On montre dans la figure 3 l'évolution de l'interface entre les deux fluides au cours du temps.

Références

[1] J.-L. GUERMOND : Subgrid stabilization of Galerkin approximations of linear contraction semi-groups of class C⁰, Comput. Visual. Sci., 2 (1999) 131-138.
[2] J.-L. GUERMOND : Stabilization of Galerkin approximations of transport equations by subgrid modeling, Modél. Math. Anal. Numér. (M² AN), 33 6 (1999) 1293-1316.
[3] J.-L. GUERMOND : Subgrid stabilizations of Galerkin approximations of monotone operators, Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, ZAMM, 79 1 (1999), 29-32.
[4] J.-L. GUERMOND : Stabilisation par viscosité de sous-maille pour l'approximation de Galerkin des opérateurs monotones. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 328 (1999) 617-622.

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