Stabilisation par viscosité de sous-maille

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J.-L. Guermond

Figure

Objet

L'objectif de cette recherche est de mettre au point une technique de stabilisation pour l'approximation de Galerkin des équations aux dérivées partielles d'ordre 1. Une EDP du premier ordre se met généralement sous la forme : trouver $u\in V$ tel que pour tout $v\in L$, a(u,v) = f(v), où $V\subset L$ sont deux espaces de Hilbert, $a\in {\cal L}(V\times L;{\fam\msbfam\elmsb R})$ et $f\in {\cal L}(L;{\fam\msbfam\elmsb R})$. Cette équation est bien posée si $\sup_{v\in V} a(u,v)/\Vert v\Vert _L \geq c \Vert u\Vert _V$, c>0. Une approximation de Galerkin se met sous la forme : trouver $u_H\in V_H\subset V$ tel que pour tout $v_H\in V_H$, a(uH,vH) = f(vH). Le problème discret est bien posé si l'inégalité précédente est vérifiée avec une constante strictement positive et l'approximation est optimale si la constante est indépendante de h. Pour les EDP du premier ordre ces conditions ne sont généralement pas remplies.

Description

Pour remédier à ce problème, nous élargissons l'espace des fonctions test. Nous introduisons un espace $V_h^H\subset V$, tel que $V_h^H\cap V_H=\emptyset$. Nous posons $V_h=V_H\oplus V_h^H$. Cet espace doit être suffisamment riche pour que $\sup_{v_h\in V_h} a(u_H,v_h)/\Vert v_h\Vert _L \geq c \Vert u_H\Vert _V$. L'espace VH est associé aux échelles résolues de la solution alors que VhH est associé aux échelles de sous-maille. L'inégalité ci-dessus permet de contrôler la composante résolue de la solution. Pour contrôler la composante non résolue on introduit une viscosité n'agissant que sur les échelles de sous-maille. Le problème discret se met sous la forme : trouver $u_h\in V_h\subset V$ tel que pour tout $v_h\in V_h$, a(uh,vh) + h b(uhH,vhH) = f(vh), où b(uhH,vhH) est une forme bilinéaire coercive sur V qui satisfait $\vert b(u_h^H,v_h^H)\vert\leq c h^{-1} \Vert u_h^H\Vert _V \Vert v_h^H\Vert _L$. Il est possible de démontrer que ce cadre fournit une approximation optimale dans la norme de V. De plus, ce cadre s'étend aisément aux problèmes instationnaires.

Résultats et perspectives

Pour illustrer les performances de la méthode, on l'applique sur trois problèmes de transport en 2D. On utilise une approximation ${\fam\msbfam\elmsb P}_1$ pour XH et on engendre XhH localement sur chaque simplexe TH par la fonction ${\fam\msbfam\elmsb P}_1$ par morceaux sur TH qui vaut 1 au barycentre de TH et 0 aux trois sommets de TH. Pour bh on pose $b_h(v_h^H,w_h^H) = \Sigma_{T_H} \mbox{mes}(T_H)^{1/2} \int_{T_H} \nabla v_h^H\cdot\nabla w_h^H$. Le premier problème traité est : $\sigma u + \partial_y u =f$ avec $u=\cos(2\pi x)\cos(8\pi y)$ dans $\Omega=]0,1[^2$ et $\sigma=10^{-2}$. Sur la figure 0.1 on a représenté à gauche l'interpolé ${\fam\msbfam\elmsb P}_1$ de la solution, au centre la solution stabilisée et à droite la solution du problème de Galerkin standard pour un maillage composé de 800 triangles ( $H\sim 1/20$). La supériorité de la technique proposée est claire. Le second problème est ${\partial_t u} + {\partial_x u}=0$, dans le domaine périodique $\Omega=]0,1[^2$ avec $u_{\vert t=0}= \cos(8\pi x)\cos(2\pi y)$. La solution approchée est calculée par un schéma implicite d'ordre deux avec $\delta t=10^{-3}$ pour assurer que l'erreur temporelle est très petite devant l'erreur spatiale. Le temps d'intégration est T=5. La solution a traversé le domaine 5 fois. Sur la figure 0.2, nous avons représenté à gauche l'interpolé ${\fam\msbfam\elmsb P}_1$ de la solution exacte, au centre la solution stabilisée et à droite la solution du problème de Galerkin standard pour un maillage composé de 800 triangles. Mis à part une petite erreur de phase globale, la solution stabilisée a bien préservé la structure de la solution à T=5. Par contre, ll est clair que la solution de Galerkin n'a plus beaucoup de relation avec la solution exacte. Le dernier test concerne le problème du cone en rotation : ${\partial_t u} + a\cdot {\nabla u}=0$, avec $a=2\pi\times (-y,x)$ et $u_{\vert t=0}=\exp(-\vert r-r_0\vert^2/(.02)^2)$, r0=(0.5,0). On utilise le même schéma temporel que précédemment, $\delta t=10^{-3}$. Sur la figure 0.3 on a représenté les isovaleurs de la solution à T=5 : à gauche l'interpolé ${\fam\msbfam\elmsb P}_1$ de la solution exacte, au centre la solution stabilisée et à droite la solution du problème de Galerkin standard. La conclusion est évidente.

Références

[1] GUERMOND, J-L, Stabilisation par viscosité de sous-maille pour l'approximation de Galerkin des opérateurs linéaires monotones C. R. Acad. Sc. Paris, Série I, (1999), à paraître.
[2] GUERMOND, J-L, Stabilization of Galerkin approximations of transport equations by subgrid modeling Rapports internes LIMSI 98-01 et 98-03.

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