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C. Nore en collaboration avec M. Brachet*, H. Politano et A. Pouquet**
Objet
La présence de champs magnétiques est une caractéristique importante de nombreux corps célestes dont la Terre. Parmi les divers mécanismes proposés pour expliquer l'existence de tels champs, le plus plausible semble celui de ``l'effet dynamo'', i.e. l'émergence et l'entretien des champs par leur interaction avec des champs de vitesse (souvent turbulents) dans un milieu conducteur dont la dynamique est décrite par les équations de la magnéto-hydrodynamique (MHD). Nous avons donc étudié numériquement l'effet dynamo dans la géométrie du tourbillon de Taylor-Green entretenu.
Description
Le tourbillon de Taylor-Green (TG)
est un écoulement utilisé pour ses symétries en simulation
numérique directe [1]
pouvant servir de modèle à
l'écoulement expérimental de Von Karman [2] .
Nous avons mis en uvre deux codes pseudo-spectraux intégrant les
équations MHD: un code
périodique général et un code TG symétrique dans lequel
les symétries TG sont implémentées
de façon à obtenir un gain (facteur 64) en temps calcul et
place mémoire.
L'intégration temporelle est effectuée par un schéma de
leapfrog Crank-Nicolson.
Le problème est caractérisé par deux nombres
adimensionnels : le nombre de Reynolds cinétique
et le nombre de Reynolds magnétique
,
où V0 est la vitesse moyenne de l'écoulement,
la viscosité cinématique,
la diffusivité magnétique
et Lint
l'échelle intégrale.
Ils sont reliés au nombre de Prandtl magnétique par
(de l'ordre de 10-6 pour les liquides
conducteurs usuels).
Les conditions aux limites
sur la vitesse et le champ magnétique
peuvent être imposées différemment dans les deux
codes et jouent un rôle déterminant [3].
Résultats et perspectives
Nous avons effectué
des études paramétriques du nombre Reynolds
magnétique critique à partir
duquel croît un champ magnétique en fonction du nombre
de Reynolds cinétique avec les deux codes.
Pour le code périodique général, il y a croissance
du champ magnétique
(cas (a) de la Fig. 1). Le mode croissant
est alors de la forme :
,
où c.c. signifie le complexe conjugué.
Ainsi, dans un plan horizontal à
z=constant,
le champ magnétique est constant (``slab mode'').
Avec le code TG symétrique, nous avons testé
différentes échelles de forçage :
grande échelle (k0=1) et petite échelle (k0=3).
Le forçage à k0=1 n'a pas montré d'effet dynamo
pour les nombres de Reynolds cinétique et magnétique
choisis (cas (b) et (c) de la Fig. 1).
Le forçage à k0=3 permet d'obtenir l'effet dynamo
pour des nombres de Reynolds magnétique au-delà
de 40-75 suivant le nombre de Reynolds cinétique
(voir Figs. 1 et 2).
Un dispositif expérimental dans la géométrie
de Von Karman utilisant du gallium liquide n'a pas mis
en évidence l'effet dynamo [4]
mais nos résultats laissent espérer l'obtention
d'un effet dynamo dans le cas d'utilisation de sodium liquide
[5].
Références
[1] M. E. Brachet, D. I. Meiron, S. A. Orszag, B. G. Nickel,
R. H. Morf & U. Frisch; 1983,
J. Fluid Mech. 130, p. 411.
[2] S. Douady, Y. Couder & M. E. Brachet; 1991,
Phys. Rev. Lett. 67, p. 983.
[3] C. Nore, M. Brachet, H. Politano & A. Pouquet; 1997,
Physics of Plasmas 4, p. 1.
[4] P. Odier, J.-F. Pinton & S. Fauve; 1998,
Phys. Rev. E 58, p. 7397.
[5] S. Fauve , J.-F. Pinton & F. Daviaud; 1999, private communication.
*Laboratoire de Physique Statistique, ENS, Paris
**Observatoire de la Côte d'Azur, Nice
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