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Objet

La modélisation des configurations rencontrées en croissance cristalline ou pour le stockage de l'énergie nécessite de disposer d'algorithmes permettant de prédire l'influence des mouvements convectifs sur la vitesse globale de fusion ainsi que sur les caractéristiques locales de l'interface fluide solide. De nombreuses méthodes ont été développées pour traiter de tels problèmes et quelques articles de revue en ont présenté les avantages et inconvénients attendus. Notre objectif a été de définir un problème générique et simple permettant de tester ces différents algorithmes et de collecter et synthétiser les contributions en provenance de différents groupes de recherche. Au cours de cette exercice il a été mis en évidence des comportements qui n'avaient apparemment pas été observés auparavant. Ces comportements ont été attribués à l'apparition d'instabilités hydrodynamiques déjà connues, dont les conditions d'apparition ont été confirmées à l'aide d'une analyse d'échelles donnant les grandeurs caractéristiques aux premiers instants.

Description

Le problème test correspond à la fusion d'un bloc de matériau de hauteur H initialement à sa température de fusion T_f (fig.1). A l'instant initial, la paroi verticale gauche est portée à une température T_c supérieure à la température de fusion. Sous forme adimensionnelle la configuration est gouvernée par 3 paramètres, le nombre de Rayleigh, le nombre de Prandtl du liquide et le nombre de Stefan, qui caractérise l'importance de la chaleur sensible par rapport à la chaleur latente. Les 4 cas test correspondent à deux couples de valeurs du nombre de Prandtl et du nombre de Stefan correspondant approximativement à un cas de fusion d'un métal et au cas de fusion d'une paraffine. Pour chacun de ces couples, deux valeurs du nombre de Rayleigh dans un rapport 10 ont été retenues (table I). Ce problème test a été diffusé au sein de la communauté nationale et des contributions en provenance d'environ 10 groupes différents ont été reçues. Il était demandé aux participants de fournir l'évolution de quantités globales telles que la fraction moyenne fondue et le nombre de Nusselt global au cours du temps ainsi que des quantités locales à des instants définis. Une synthèse des comparaisons a été présentée oralement au colloque SFT 1998 à Marseille. Un article reprenant l'essentiel des comparaisons a été rédigé et accepté pour publication dans Int. J. Thermal Sciences. Un exemple de comparaison est présenté sur la figure 2, qui montre la position du front de fusion au dernier temps de la simulation. On constate une grande dispersion des résultats, en particulier en partie haute, là où la position du front est la plus influencée par l'intensité du mouvement convectif. Au cours du calcul du cas 2, deux contributions se sont distinguées nettement des autres (fig.3), prédisant une évolution plus rapide de la fraction fondue, ainsi qu'une forme assez différente du front de fusion. Une analyse plus attentive a montré que cette évolution était due à l'apparition d'une structuration multicellulaire stationnaire de la convection, qui devient ensuite instationnaire (fig.4). Une analyse des ordres de grandeur caractérisant l'évolution des grandeurs caractéristiques, couplée avec des résultats classiques sur la stabilité linéaire du régime de conduction, a permis de retrouver les valeurs correspondant à l'apparition des cellules convectives. Cette analyse a été acceptée pour publication à Int. J. Thermal Sciences.

Résultats et perspectives

La grande dispersion des résultats, et ce malgré l'apparente simplicité des cas test proposés, montre bien l'intérêt de procéder à ce type d'exercice de comparaison. Il est prévu d'étendre l'exercice au plan international et d'effectuer de nouvelles synthèses lors de colloques à venir.

Références

[1] O. Bertrand et al. : <<Melting driven by natural convection. A comparison exercise : preliminary results>>, Int J. Thermal Sciences, vol 38, 1, 5-26, 1999.
[2] P. Le Quéré et D. Gobin : <<A note on possible instabilities in melting from the side>>, accepté pour publication dans Int. J. Thermal Sciences.

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