Un modèle 2x2 de convection en fluide binaire

Un modèle 2x2 de convection en fluide binaire
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L. S. Tuckerman Figure 1 - Figure 2

Objet

La convection due à des gradients thermique et solutal en opposition [1] a été beaucoup étudiée dans les années 1980 comme illustration physique d'un point de codimension deux [2], correspondant à la terminaison d'une courbe de bifurcations de Hopf sur une courbe de bifurcations stationnaires. Des simulations de convection de Marangoni en fluide binaire [3] ont suggéré de l'interpréter comme superposition de problèmes thermique et solutal.

Description

Nous considérons la convection thermosolutale avec des nombres de Prandtl $P\equiv\nu/\kappa_T=\infty$ et de Lewis $L\equiv \kappa_C/\kappa_T=0.01$ . Des conditions aux limites simples mènent à des champs de la forme $(T,C)\sin(kx)\sin(\pi z)$ . Le gradient thermique est mesuré par le nombre de Rayleigh réduit r ; le rapport entre les gradients solutal et thermique est mesuré par le paramètre de séparation S. La stabilité linéaire de la solution conductrice est régie par :

$\begin{displaymath}\sigma\left(\begin{array}{c} T\\ C \\ \end{array}\right) = \l... ...array}\right) \left(\begin{array}{c}T\\ C\\ \end{array}\right) \end{displaymath}$

(1)

qui admet pour valeurs propres :

$\begin{displaymath}\sigma_{\pm} = {{(r-1) + (rS-L)}\over 2} \pm \sqrt{\left({{(r-1) - (rS-L)}\over 2}\right)^2 + Sr^2}. \end{displaymath}$

(2)

Pour étudier la convection non linéaire, il nous faut introduire des termes sous la forme $\sin(2\pi z)$ . Utilisant une démarche similaire à la dérivation du modèle de Lorenz, nous trouvons que les états stationnaires non linéaires obéissent à

$\begin{displaymath}{{r^2}\over 8} (T+SC)^2 \left(\begin{array}{c} T \\ C \end{ar... ...rray}\right) \left(\begin{array}{c} T \\ C \end{array}\right) \end{displaymath}$

(3)

Résultats et perspectives

Les termes diagonaux r-1 et rS-L de (1) peuvent être considérés respectivement comme étant les taux de croissance de la convection purement thermique et solutale. Si S>0, alors les valeurs propres $\sigma_\pm(r)$ de (2) sont toujours réelles, mais subissent un changement de pente près du point d'intersection des termes diagonaux ; voir Figure 1a. Si S<0, alors il existe un intervalle en r autour du point d'intersection pour lequel les valeurs propres sont complexes ; voir Figure 1c. Si ${\cal R}(\sigma)=0$ dans l'intervalle complexe, la convection apparaît par une bifurcation de Hopf. Le carré de l'amplitude convective non linéaire, que nous définissons comme $A^2 \equiv {{r^2}\over 8} (T+SC)^2$ dans (3), se comporte de la même façon que les taux de croissance, mais l'interprétation doit être modifée. Dans le système linéaire, les valeurs propres négatives ou complexes caractérisent des perturbations infinitésimales qui sont amorties et/ou qui oscillent. Pour le problème non linéaire, les valeurs négatives ou complexes de A² sont interdites et impliquent la non-existence de solutions stationnaires dans certaines plages de r, S, L. Il y a une bifurcation noeud-col si ${\cal R}(A^2)>0$ au point où A² devient complexe. La partie gauche de la Figure 2 montre des valeurs de r critiques pour S<0. Les bifurcations sont des fourches ( r_PF=L/(L+S), trait plein), des bifurcations de Hopf ( r_H = (1+L)/(1+S), point-tiré), et des noeud-cols (points). Les points où r_PF = r_H à S=-L² et où r_PF = r_SN à S=-L³ sont des points de codimension deux (cercles noirs). Les traits en tirets montrent les seuils thermique et solutal purs r_T=1 and r_C=L/(L+S). La partie droite montre A²(r) et A(r) pour des valeurs typiques de S.

Références

[1] W. Barten, M. Lücke, M. Kamps, & R. Schmitz, Phys. Rev. E 51, 5636 (1995).
[2] H.R. Brand, P.C. Hohenberg, & V. Steinberg, Phys. Rev. A 30, 2548 (1984).
[3] A. Bergeon, D. Henry, H. BenHadid, & L.S. Tuckerman, J. Fluid Mech. 375, 143 (1998).

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