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Objet

On s'intéresse à la convection d'un fluide binaire (mélange solvant-soluté non réactif) soumis à un gradient vertical de température déstabilisant et un gradient induit de concentration stabilisant. Les applications associables à ce type de configuration sont par exemple, la croissance cristalline où l'on cherche à obtenir un monocristal contenant un taux d'impuretés donné à partir d'un mélange fondu, ou encore la dynamique du noyau terrestre, siège d'une solidification par ségrégation.

Description

Le système étudié est une cavité cylindrique axisymétrique de rapport de forme (rayon sur hauteur) 2, dont les parois sont rigides et imperméables. La résolution des équations est obtenue par simulation numérique directe via une méthode pseudo-spectrale de collocation Chebyshev.

Des quatre paramètres sans dimension issus des équations, nous avons choisi de fixer les valeurs de trois d'entre eux (nombres de Prandlt Pr=1, Lewis Le=0.1 et paramètre de séparation ). Le nombre de Rayleigh Ra est donc ainsi le seul et unique paramètre de contrôle de l'étude. Les simulations ont montré l'existence de trois régimes d'écoulement: conductif (Ra < 2583), convectif oscillant ( 2574 < Ra < 2876) et convectif stationnaire (Ra > 2629).

L'écoulement instationnaire étant monopériodique, on ne s'intéresse qu'au mode dominant présent dans la cavité. La phase de ce dernier s'avère être essentiellement monodimensionelle, ne variant que suivant le rayon du cylindre, indépendamment de la coordonnée verticale. La figure 1 montre l'évolution de la tangente de cette phase (donc le rapport entre parties imaginaire et réelle du mode Fourier), prise le long d'un rayon, pour différentes valeurs de Ra.

Au début de la branche oscillante (faibles valeurs de Ra), la pente monotone indique qu'il y a globalement propagation dans une direction (en fait de l'intérieur vers l'extérieur). Vers la fin de cette branche (grandes valeurs de Ra), la pente de signe opposé montre que la propagation se fait alors dans l'autre sens. Pour des valeurs intermédiaires de Ra, on observe une situation assimilable à une compétition entre ces deux comportements extrêmes.

Résultats et perspectives

Dans le cas de cavités de grandes extensions ou infinies, il a été montré [1],[2] que le comportement instationnaire est assimilable à la présence de deux ondes contra-propagatives. Suivant cette approche, on cherche à modéliser les phases observées par la simple combinaison de deux ondes contra-propagatives déséquilibrées en phase et en amplitude. Pour de faibles valeurs de Ra, on retrouve ainsi (figure 2) le comportement des phases observées. Dans les deux cas présentés, Ra=2574 et Ra=2583, il s'agit d'ondes dont le déséquilibre en amplitude est respectivement de l'ordre de 25 et 15%. La trop grande simplicité du modèle (les phases, amplitudes et nombres d'onde sont présumés constants) ne permet cependant pas de retrouver les résultats obtenus sur le reste de la branche oscillante. Concevoir un modèle plus élaboré décrivant le contenu ondulatoire des états instationnaires est maintenant notre objectif.

Références

[1] Barten W., Lücke M., Kamps M. and Schmitz R.: <<Convection in binary fluid mixture. I. Extended traveling-wave and stationary states>> et <<II. Localized traveling waves states>>. Phys. Rev. 51, 6, 5636-5661 et 5662-5680 (1995)
[2] Cross M. C.: <<Traveling and standing waves in binary-fluid mixture in finite geometries>>. Phys. Rev. Letters 57, 23, 2935-2938 (1986)

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