Méthode de projection du second ordre

Méthode de projection du second ordre

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Objet

La construction d'une méthode de pas fractionnaire d'ordre élevé pour l'approximation des équations de Navier-Stokes est un problème non trivial. Les méthodes de projection sont des méthodes de pas fractionnaires qui découplent les mécanismes de convection-diffusion et l'incompressibilité. Ce découplage induit une erreur de fractionnement irréductible, c'est-à-dire qu'elle limite de façon rédhibitoire la précision des algorithmes. Par exemple, la méthode de projection de Chorin-Temam est limitée à l'ordre ${\cal O}(\Delta t)$ ; cette méthode ne peut donc pas servir de base pour la construction d'une méthode d'ordre deux ou plus. L'erreur de fractionnement peut être réduite à l'ordre deux en utilisant une méthode de projection incrémentale introduite par Goda.

Description

La version variationnelle de la méthode incrémentale a été analysée en détail dans [1] et [2]. Il est démontré dans [1] et [2] que ce schéma associé à une approximation d'Euler implicite est d'ordre ${\cal O}(\Delta t)$ . Toutefois, il est démontré dans [3] et [4] que l'erreur de fractionnement de ce schéma est d'ordre ${\cal O}((\Delta t)^2)$ . Il est donc raisonnable de se servir de la technique incrémentale pour construire un schéma d'ordre deux. Un nouveau schéma basé sur une différentiation rétrograde d'ordre deux et la technique incrémentale est proposé dans [3] and [4]. Il est prouvé dans [4] que ce schéma est effectivement d'ordre ${\cal O}((\Delta t)^2)$ .

Résultats et perspectives

La vérification de l'ordre théorique ${\cal O}((\Delta t)^2)$ du nouveau schéma, a été testée sur la solution analytique suivante dans le carré [0,1]²: $u_x = -\cos x \sin y \, \sin(2t)$ , $u_y = \sin x \cos y \, \sin(2t)$ and $p = -\frac{1}{4} [\cos(2x) + \cos(2y)] \, [\sin(2t)]^2$ , pour un nombre de Reynolds Re = 100, sur un maillage P₁-P₂ composé de $2\times 40^2$ triangles. Sur la figure 1, on montre le maximum en temps sur l'intervalle $0\leq t\leq 1.5$ de la norme L² de l'erreur sur la pression et les normes L² et H¹ de la vitesse. Les erreurs sur la vitesse en norme H¹ et sur la pression en norme L² saturent à cause de l'erreur de consistance en espace; cette erreur est d'ordre h². La saturation en espace sur la norme L² de la vitesse n'est pas atteinte sur la figure, car celle-ci se comporte en h³. On a vérifié dans [3] que l'erreur de fractionnement est bien d'ordre deux.

Les possibilités de la méthode ont été testées sur le problème de la cavité entraînée 3D: $(\vert x\vert\leq 0.5)\times (\vert y\vert\leq 0.5)\times (\vert z\vert\leq 1.5)$ à Re=3200 sur l'intervalle de temps $0\leq t\leq 200$ (problème de référence). Un maillage non uniforme constitué de $6\times 20^2\times 29$ P₁-P₂ tetraèdres est utilisé. Pour raison de symétrie par rapport au plan z=0, seule la moitié de la cavité est maillée (87579 n $\oe$ uds P2). Sur la figure 2, on représente le champ de vitesse au temps t=50 dans le plan x=0.13 et au temps t=100 dans le plan x=0.18. Dans les deux cas, on trace les lignes de champ du champ de vitesse projeté sur les plans considérés. Ces résultats se comparent bien qualitativement avec d'autres résultats publiés. Le présent calcul reproduit correctement les structures principales de l'écoulement ainsi que les tourbillons secondaires.

Références

[1] GUERMOND, J-L, C. R. Acad. Sc. Paris, Série I, 319, (1994), 887-892.
[2] GUERMOND, J-L AND QUARTAPELLE, L, J. Comput. Phys., 132, (1997), 12-33.
[3] GUERMOND, J-L, C. R. Acad. Sc. Paris, Série I, 325, (1997), 1329-1332.
[4] GUERMOND, J-L, in press Modél. Math. Anal. Numér. (M² AN), (1998).

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