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Objet

Nous nous intéressons depuis plusieurs années à l'apparition des premières instabilités et à la transition au chaos des écoulements se produisant dans une cavité fermée constituée d'un disque fixe et d'un disque tournant. Nous avons eu l'occasion de faire état lors des rapports scientifiques antérieurs des difficultés que nous avons rencontrées pour déterminer avec précision une valeur critique du nombre de Reynolds correspondant à la perte de stabilité des solutions stationnaires. Pour résumer brièvement, disons qu'il nous a été impossible d'obtenir, sauf dans des cavités de rapport de forme radial très petit (de l'ordre de 2), des solutions périodiques au voisinage du déclenchement des premières instabilités. Dans le but d'examiner l'éventuelle influence des effets de courbure, nous avions alors considéré une cavité torique de rapport de forme fixe, dont nous avions fait varier le rapport des rayons de 1 (cavité presque cartésienne) vers 0 (cavité comprenant l'axe de rotation). Nous avions alors remarqué une pathologie croissante lors de l'apparition de la première instabilité. Ces observations avaient été faites par des simulations des équations de Navier-Stokes instationnaires, et cette méthodologie s'était avérée clairement insuffisante pour comprendre l'origine des difficultés rencontrées. Le récent développement de nouveaux outils nous a permis de progresser notablement dans la compréhension des observations faites.

Description

A l'aide de la méthode proposée par L. Tuckerman en 1992, nous avons adapté un code temporel classique en formulation fonction de courant tourbillon pour calculer directement les états stationnaires, qu'ils soient stables ou instables. Nous avons également adapté ce code pour effectuer l'intégration des équations sous forme perturbative en décomposant la solution sous la forme solution de base plus une fluctuation. Ceci permet alors d'observer l'évolution des perturbations, soit linéarisée soit non-linéaire. La forme linéarisée correspond au Jacobien de l'opérateur d'évolution et nous avons utilisé la bibliothèque ARPACK pour calculer les modes dominants du spectre de ce Jacobien et caractériser ainsi la stabilité linéaire de la solution.

Résultats et perspectives

Nous donnons ici un exemple de l'analyse qu'il a été possible de conduire. Pour un rapport des rayons , le calcul des valeurs propres du jacobien montre que l'écoulement devient linéairement instable pour 1100<Re<1200 (figure 1). Notons que les calculs non linéaires antérieurs avaient révélé une évolution quasi-périodique pour Re 1000. Pour tenter d'expliquer cette apparente contradiction, nous avons effectué les expériences numériques suivantes. Nous avons tout d'abord confirmé que les solutions de base pour Re=1100 et 1200 sont respectivement linéairement stables et instables (figure 2). On notera toutefois que l'évolution asymptotique n'est atteinte qu'après un temps long (environ 40 tours) et que, dans les premiers instants, on observe une forte augmentation de la norme L₂ des perturbations (même dans le cas stable), ce qui s'explique par le fait que le Jacobien correspondant est fortement non-normal. Pour Re= 1200, à partir de l'état final obtenu par intégration des équations linéarisées, nous avons ensuite effectué un calcul non linéaire, qui met en évidence une évolution asymptotique chaotique (figure 3). Nous avons ensuite effectué un autre calcul non linéaire en prenant comme état initial un état correspondant à l'état dont l'amplitude a été divisée par 10, ce qui nous a permis d'obtenir une solution monopériodique (figure 3). On peut donc conclure qu'il existe effectivement une bifurcation supercritique aux alentours de Re=1150, mais qu'en même temps coexiste une branche à amplitude finie, chaotique, sur laquelle toute solution est attirée pour peu que le niveau initial de perturbations soit supérieur à un certain seuil, ici faible, en raison de la forte non-normalité du jacobien. Ceci explique probablement le fait que nous n'ayons jamais pu atteindre la solution monopériodique par un calcul nonlinéaire classique dans lequel on procède par incréments finis du nombre de Reynolds, ce qui correspond à des perturbations dépassant ce seuil.

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