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Objet

La conception récente d'une méthode dite de <<projection-diffusion>> de découplage précis et stable des champs de vitesse et pression [1] ouvre la voie à une expérimentation numérique des écoulements 3D. Nous avons appliqué cette méthode pour déterminer la première transition à l'instationnarité dans une cavité cubique différentiellement chauffée, et fournir des solutions fiables caractérisant la dynamique d'écoulements stationnaires en fonction du nombre de Rayleigh (Ra). Ils constituent ainsi une base précise pour l'édification d'un <<Bench-Mark>> tridimensionnel au même titre que ceux proposés en 2D par De Vahl Davis (1987) et Le Quéré (1991).

Description

Les équations adimensionnelles de Boussinesq ont été résolues dans une cavité cubique, contenant de l'air, caractérisée par des conditions limites de non glissement sur toutes les faces du cube. Deux faces verticales sont fixées thermiquement, toutes les autres sont adiabatiques. Une méthode de collocation Chebyshev Gauss-Lobatto a été utilisée pour évaluer les dérivées spatiales des champs de vitesse et thermique [1]. L'intégration temporelle a été faite à l'aide d'un schéma classique de différence finie du second ordre (Crank-Nicolson/Adams-Bashforth).

Résultats et perspectives

Pour les cinq valeurs de Ra suivantes: 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶ et 10⁷, et pour quatre maillages différents (51³, 61³, 71³ et 81³), des solutions caractéristiques 3D et 2D ont été obtenues [2]. La précision spatiale relative de ces solutions est au mieux égale à 0,002 %. Nos résultats montrent clairement que la dynamique de l'écoulement n'évolue pas de manière monotone au fur et à mesure que Ra augmente. Ce point est observé par une étude comparative des nombres de Nusselt 2D et 3D (Nu_2D,W, Nu_3D,W) par rapport à celui associé au plan médian (y = 0) de la cavité cubique (Nu_mp) (Figure 1). Seuls les derniers points (à Ra = 3,3x10⁷) de cette figure correspondent à l'idée que le 2D est une bonne approximation du 3D et de son plan médian. Ailleurs, i.e. dans la majeure partie du domaine stationnaire, cette approximation 2D surestime le transfert de chaleur effectif 3D mais sous-estime celui du plan médian. Par ailleurs, l'écart entre Nu_mp et Nu_3D,W (qui est toujours < 0) montre un extremum autour de Ra = 10⁴, ce qui indique une nette dépendance suivant y (la troisième direction, perpendiculaire au plan médian) de la valeur de Nu. L'écoulement devient instationnaire à partir d'une valeur seuil de Ra égale à 3,5x10⁷ [1, 3], soit environ 6 fois plus faible que la valeur 2D correspondante. À la différence de la cavité carrée, un comportement d'hystérésis caractérise cette transition. Par ailleurs, tous les écoulements instationnaires obtenus ont en commun de briser la symétrie par rapport au plan médian, alors qu'ils conservent tous la centro-symétrie caractéristique des écoulements 2D (Figure 2). Ces résultats suggèrent fortement que le mécanisme qui est à l'origine de la transition à l'instationnarité dans la cavité cubique est de nature tridimensionnelle. L'ensemble de ces données constitue toutefois le point de départ d'une étude, dont le but principal est de comprendre (1) l'effet de la troisième dimension sur la dynamique de l'écoulement, (2) les mécanismes à l'origine de la transition vers l'instationnarité.

Références

[1] G. Labrosse, E. Tric, H. Khallouf and B. Betrouni : <<A direct (pseudo-spectral) solver of the 2D/3D Stokes problem: Transition to unsteadiness of natural-convection flow in a differentially heated cubical cavity>>. Num. Heat Transfer, Part B, 31, pp. 261-276, 1997.
[2] E. Tric, M. Betrouni and G. Labrosse : <<Accurate solutions of natural convection flow of air in a differentially heated cubic cavity>>. Soumis à Computer and Fluids.
[3] E. Tric, G. Labrosse and M. Betrouni : <<Numerical experimentation of the first transition to unsteadiness of air free convection in a differentially heated cubic cavity with non adiabatic walls>>. Proceedings IMACS- COST conference on computational fluid dynamics three-dimensional complex flows, Lausanne, Sept. 95.

1. Institut de Physique, USTHB, El Alia, BP 32, Alger, Algérie.

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