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Objet

Bien que la convection de Rayleigh-Bénard ait été étudiée depuis le début du siècle [1] et intensivement pendant les années 1970-1980 [2,3], des découvertes inattendues continuent depuis. Par exemple, ce n'est qu'en 1993 que des expériences ont montré que l'état au seuil dans un très grand domaine est l'état irrégulier nommé ``spiral defect chaos'' [4] et non des sous-domaines de rouleaux quasi-parallèles prédits par la théorie et observés jusqu'ici dans des domaines moins grands. Depuis les premiers calculs [5,6] de l'instabilité primaire dans un cylindre, des études plus récentes [7,8,9] ont calculé des bifurcations secondaires ; il reste beaucoup de cas à étudier et à interpréter en utilisant la théorie des bifurcations des systèmes avec symétries. Finalement, nous espérons comparer des simulations à des modèles mathématiques [10] de champ de vecteur d'onde.

Description

Nous avons mis en oeuvre un programme qui intégre les équations de Boussinesq dans un repère cylindrique. L'intégration temporelle est effectuée par un schéma de Crank-Nicolson Adams-Bashforth (CNAB). L'approximation spatiale est pseudospectrale : chaque composante du champ de vitesse et de la température est décomposée sur une base qui est un produit tensoriel de polynômes de Chebyshev en r et en z et des fonctions trigonométriques en . Le programme est capable de fonctionner en mode axisymétrique ou nonaxisymétrique et aussi d'effectuer une analyse de stabilité linéaire d'un état stationnaire axisymétrique. Le problème a trois nombres adimensionels : Ra (nombre de Rayleigh), Pr (nombre de Prandtl), et , qui est le rapport entre le rayon et la hauteur du cylindre. La condition aux limites thermique (conductive, adiabatique, ou intermédiaire) à la paroi latérale joue aussi un rôle déterminant et peut être changée.

Résultats et perspectives

La figure 1a) montre les isovaleurs de la perturbation en température à mi-hauteur du cylindre de l'état convectif stationnaire pour , Ra=5000, Pr=1 et des parois latérales adiabatiques. Cet état correspond à un rouleau occupant tout le cylindre, le fluide montant à droite et descendant à gauche. La figure 1b) montre l'évolution temporelle (en nombre d'itérations) de la vitesse azimutale en deux points de l'écoulement pour les paramètres de la figure 1a) et permet d'indiquer l'obtention d'un état convectif stationnaire. L'état initial est l'état conductif auquel a été ajoutée une perturbation non axisymétrique. Nous avons comparé ce champ avec celui calculé pour les mêmes paramètres par un programme d'éléments spectraux [8]. Les deux champs diffèrent par moins de 0.2% en chaque point. La figure 2 montre le champ de vitesses d'un deuxième état convectif, obtenu pour , Ra=2100, Pr=10 et des parois adiabatiques. Cet état est constitué de neuf rouleaux quasi-parallèles à l'axe y.

Références

[1] Lord Rayleigh 1916, Phil. Mag. 32, 529.
[2] F.H. Busse 1978, Rep. Prog. Phys. 41, 1929.
[3] V. Croquette 1989, Cont. Physics 30, 113; 153.
[4] S.W. Morris, E. Bodenschatz, D.S. Cannell, et G. Ahlers 1993, Phys. Rev. Lett. 71, 2026.
[5] G.S. Charlson et R. Sani 1971, Intl. J. Heat Mass Transf. 14, 2157.
[6] J.C. Buell et I. Catton 1983, Trans. ASME J. Heat Transfer 105, 255.
[7] G. Neumann 1990, J. Fluid Mech. 214, 559.
[8] M. Wanschura, H.C. Kuhlmann et H.J. Rath 1996, J. Fluid Mech. 326, 399.
[9] R. Touihri, D. Henry, H. BenHadid et L.S. Tuckerman 1997, Bull. Amer. Phys. Soc. 42, 2257.
[10] A.C. Newell, T. Passot et J. Lega 1993, Annu. Rev. Fluid Mech. 25, 399.

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