Détermination des modes propres ``vedettes'' par la méthode de la puissance itérée inverse préconditionnée

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F. Bertagnolio, L. Tuckerman , P. Le Quéré, O. Daube

Figure

Objet

L'objet de ce travail est d'améliorer la rapidité du calcul des valeurs propres vedettes, c'est-à-dire celles de partie réelle maximale, qui contrôlent la stabilité d'un opérateur linéaire A correspondant à différents types d'écoulements. Dans les applications hydrodynamiques, la matrice $A \equiv L + N_U$, où L représente les parties linéaires, N les parties nonlinéaires, et NU leur linéarisation autour d'un état stationnaire U. Ce travail est soutenu par un contrat européen COPERNICUS.

Description

Nous partons d'un programme d'intégration temporelle explicite/implicite des équations linéarisées, qui effectue $u(t+\Delta t) = B u(t) \equiv (I - \Delta tL)^{-1} (I + \Delta tN_U) u(t)$. Pour calculer les valeurs propres de A les plus proches de zéro, la méthode idéale est la méthode des puissances itérées inverses, utilisant une suite A un+1 = un. La matrice A est trop grande pour être inversée directement et trop mal conditionnée pour qu'une résolution itérative par gradient conjugué soit efficace. Comme A = L + NU ressemble à L (l'opérateur de Stokes) pour des nombres de Reynolds ou Rayleigh modérés, A peut être préconditionné par $(I - \Delta tL)^{-1}\Delta t$, qui est proche de L-1 pour $\Delta t$ grand. Le calcul suivant [3] montre comment effectuer ce préconditionnement à partir du programme temporel :

(NU + L) un+1 = un (1)
$\displaystyle (I - \Delta tL)^{-1} \Delta t(N_U + L) u_{n+1}$ = $\displaystyle (I - \Delta tL)^{-1} \Delta tu_n$ (2)
$\displaystyle (I - \Delta tL)^{-1} \left[ (I + \Delta tN_U) - (I - \Delta tL)\right] u_{n+1}$ = $\displaystyle (I - \Delta tL)^{-1} \Delta tu_n$ (3)
$\displaystyle \left[(I - \Delta tL)^{-1} (I + \Delta tN_U) - I\right] u_{n+1}$ = $\displaystyle (I - \Delta tL)^{-1} \Delta tu_n$ (4)

Si les valeurs propres vedettes sont complexes, elles peuvent ne pas être les plus proches de zéro. Dans ce cas, on construit la suite (A - s I)un+1 = un, où s est un décalage (``shift'') près de la valeur propre recherchée. Cette équation peut également être préconditionnée comme l'équation sans décalage. La méthode exponentielle, où l'on itère $\exp^{A\Delta t}$ ou plutôt son approximation B, ressemble d'avantage à l'intégration temporelle. Elle est donc plus immédiate à mettre en oeuvre et plus fiable, surtout dans le cas de valeurs propres complexes. Mais cette méthode est très lente à cause du fait que $B \approx \exp^{A\Delta t}$ seulement pour $\Delta t\ll 1$.

Résultats et perspectives

Nous avons étudié une cavité différentiellement chauffée avec H/W = 4 comme rapport d'aspect et $Ra = 3 \times 10^6$ comme nombre de Rayleigh [1]. Nous avons calculé les valeurs propres vedettes d'un état instable stationnaire calculé préalablement par méthode de Newton avec préconditionnement de Stokes [2]. Quatre méthodes sont comparées : l'exponentielle (E), l'inverse sans shift (I), l'inverse avec shift s1 = 0.1 + 0.22 i (I1) et l'inverse avec shift s2 = 0.06 + 0.22 i (I2). La valeur propre vedette calculée par E (que nous assimilons à la valeur exacte) est $\lambda = 0.048 \pm 0.22 i$. Dans la figure 1, nous voyons que $\lambda$ est bien calculée par les méthodes E et I1, mais pas par les méthodes I et I2. Nous comprenons l'échec de I, mais pas celui de I2, puisque $s_2 \approx \lambda$. La figure 2a montre la partie réelle du vecteur propre correspondant à $\lambda$. Les méthodes I1 et I2 trouvent toutes les deux aussi un autre vecteur propre qui n'est pas calculé par E dont la partie réelle est montrée dans la figure 2b. Ces mystères restent à éclaircir.

Références

[1] S. Xin et P. Le Quéré : J. Fluid Mech. 304, 87-118 (1995).
[2] C.K. Mamun et L.S. Tuckerman : Phys. of Fluids 7, 80-91 (1995).
[3] D. Barkley et L.S. Tuckerman : dans Lecture Notes in Physics: Proc. of the 15th Int. Conf. on Num. Meth. in Fluid Dyn., ed. P. Kutler, J. Flores, et J.-J. Chattot (Springer, 1997) p. 75-76.

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