Ecoulements inertiels et obliques en milieux poreux périodiques
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M. Firdaouss,P. Tran, en collaboration avec M. Kaviany
Figure
Objet
La connaissance du tenseur de perméabilité des milieux poreux est
importante pour des applications comme l'extraction du pétrole des
roches. Lorsque la perméabilité est obtenue à partir de mesures,
on suppose que le milieu est isotrope. Dans cette étude, on montre
qu'à l'anisotropie de l'écoulement darcéen s'ajoute une anisotropie
due à l'inertie de l'écoulement. On caractérise ses effets lorsque
l'écoulement est oblique et ne s'effectue pas nécessairement dans
les directions principales. On étudie également la transition à
l'instationnaire en fonction du nombre de Reynolds (Re).
Description
On considère le cas des écoulements inertiels où la loi de Darcy
est non linéaire en milieux poreux périodiques, ordonnés ou
aléatoires. On utilise les résultats de simulations numériques
directes de l'écoulement bidimensionnel transverse dans un réseau
de cylindres. Lorsque l'écoulement est oblique, on effectue une
étude en fonction de
.
Les résultats montrent que,
par rapport à la loi de Darcy,
le régime inertiel est marqué au début (
)
par une
déviation du gradient macroscopique de pression
qui varie comme le cube de la vitesse de filtration [1]. On montre l'existence
d'un régime intermédiaire (
), puis d'un régime
correspondant à
où la déviation du gradient est
quadratique en fonction de la vitesse.
Dans le cas de réseaux de cylindres ordonnés où l'écoulement
darcéen est isotrope, on montre que les écoulements non darcéens
deviennent anisotropes :
les vitesses de filtration darcéennes et non darcéennes ne sont plus
dans la même direction (Figure 1). Pour les réseaux dont l'écoulement darcéen
est anisotrope, l'écoulement non darcéen reste anisotrope.
On montre que l'anisotropie due aux écoulements inertiels ne peut
pas être prédite
par des modèles de type Ergun-Forchheimer car les coefficients pris sous forme
de scalaires ou de tenseurs ne peuvent modéliser les effets inertiels obliques.
Un nouveau modèle est nécessaire pour
prédire les effets dus à cette anisotropie.
La simulation d'un milieu poreux aléatoire est obtenue à partir de la
prise de moyenne de plusieurs milieux ordonnés isotropes et anisotropes.
On trouve que ce milieu aléatoire se comporte comme un milieu isotrope
pour les régimes darcéens et non darcéens.
Pour les écoulements fortement inertiels, on calcule la transition à
une solution instationnaire périodique. La valeur du Reynolds critique
varie en fonction de l'angle de l'écoulement.
Résultats et perspectives
La figure 2 concerne la transition à l'instationnaire dans
un milieu poreux d'écoulement darcéen
isotrope. On montre l'évolution temporelle de l'angle que forme
le gradient macroscopique de pression avec l'horizontale. Les trois figures
correspondent à une vitesse macroscopique horizontale (2-a), d'angle
15 (2-b) et 30 degrés (2-c). Dans le premier cas, l'angle moyen reste bien
égal à zéro, mais l'amplitude des oscillations est de 
.
Dans
le second cas, on obtient 
,
et dans le troisième cas 
.
Les Reynolds critiques correspondant à ces angles valent respectivement
150, 250, 250.
Pour les milieux d'écoulement darcéen isotrope, une étude récente
[2] affirme que pour les grands Re, l'angle 
formé par le gradient
macroscopique de pression et l'horizontale
converge vers deux directions privilégiées :
et
degrés.
Lorsque l'angle 
que forme la vitesse macroscopique avec l'horizontale
est compris entre 0 et 12,
;
lorsque
,
on a
.
Les
résultats de la figure 3-a ne confirment pas ces conclusions.
Pour un écoulement darcéen anisotrope, les résultats de la figure 3-b
contredisent cette notion de direction géométrique privilégiée.
Nous comptons approfondir cette étude afin d'aboutir à une réponse
cohérente sur l'hydrodynamique des écoulements inertiels et
obliques en milieux poreux périodiques 2D.
Références
[1] M. Firdaouss, J.L. Guermond, P. Le Quéré : <<Non linear corrections
to Darcy's law at low Reynolds numbers>>.
J. Fluid Mech., 343, 331-350, 1997.
[2] D. Koch, A. Ladd : <<Moderate Reynolds number flows trough periodic and
random arrays of aligned cylinders>>.
J. Fluid Mech., 349, 31-66, 1997.
