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Objet

Le développement des méthodes de contrôle actif des écoulements pleinement turbulents correspond à une demande croissante du milieu industriel. En effet, en ce qui concerne les applications aérodynamiques, le contrôle et la modification des écoulements turbulents peuvent être utilisés aussi bien pour réduire la traînée totale des avions que pour augmenter les taux de mélange dans les chambres de combustion. Pour aborder le problème du contrôle actif, une approche possible est le développement d'un système dynamique d'ordre faible, modélisant la dynamique de l'écoulement. Dans cette optique la Décomposition Orthogonale en Valeurs Propres : DOVP (ou Proper Othogonal Decomposition : POD) est employée pour obtenir un système dynamique d'ordre faible. Notre étude se limite à l'analyse d'un écoulement libre générique. La DOVP est appliquée aux résultats numériques issus de la simulation des grosses structures (L.E.S.) du développement spatial d'une couche de mélange plane, 3D.

Description

La L.E.S. est obtenue par résolution des équations filtrées de Navier-Stokes en formulation vitesse-tourbillon. Le modèle de sous maille employé est le modèle d'échelles-mixtes (LIMSI / ONERA). Un schéma de Crank-Nicholson, couplé avec une extrapolation de type Adams-Bashforth, est utilisé pour la discrétisation en temps. La discrétisation spatiale des équations est effectuée sur un maillage décalé par une méthode de différences finies. Le transport du tourbillon est obtenu par résolution d'un problème de Helmholtz vectoriel grâce à l'utilisation d'une méthode de Jacobi par blocs. Les composantes de vitesse sont déduites du nouveau champ de vorticité en utilisant une méthode de projection. La configuration de l'écoulement est similaire à celle des expériences menées au CEAT/LEA de Poitiers. Le domaine de calcul démarre au bord de fuite de la plaque. Il s'étend sur suivant la direction principale de l'écoulement (représente le maximum de l'épaisseur de vorticité, mm) et sur dans les directions transverses (y and z). Le maillage comporte 401x51x65 points (xxyxz) et est resserré sur le centre de la couche de mélange dans la direction inhomogène (y). Le nombre de Reynolds de la simulation, basé sur l'épaisseur de vorticité ()est

Résultats et perspectives

Un bon accord avec les expériences est obtenu sur les valeurs moyennes (figure 1) et RMS (figure 2) des vitesses. La technique <<snapshot>>-POD (basée sur les corrélations temporelles de vitesse) est appliquée aux résultats numériques. La convergence des valeurs propres de la POD est rapide puisque 39 % de l'énergie cinétique de la turbulence sont contenus dans le premier mode et 87 % de celle-ci se retrouvent dans les dix premiers modes, indiquant qu'un système dynamique d'ordre faible peut être appliqué pour retrouver le comportement à grande échelle de la couche de mélange. Ainsi, une projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes est effectuée sur les fonctions propres déterminées par la méthode <<snapshot>>-POD. En ne retenant que les dix premiers modes POD, nous obtenons un système de dix équations différentielles ordinaires pour les coefficients (a⁽ⁿ⁾ (t)) de la POD. Ce système réduit d'équations est résolu par une intégration Runge-Kutta d'ordre 4. Les évolutions temporelles des coefficients (a⁽ⁿ⁾ (t)) de la POD sont comparées avec les fonctions propres de la POD (figure 3). Un bon accord est obtenu pour les deux premiers modes pour un temps d'intégration relativement court. Les premiers résultats étant très encourageants, de plus amples investigations sont en cours pour les confirmer.

Référence

[1] L. Cordier, F. Granier, J. Delville et C. Tenaud : <<Modélisation par un système dynamique d'ordre faible du comportement à grande échelle d'une couche de mélange plane turbulente>>, AAAF conference, Poitiers, France, 1997.

^* CEAT / LEA - UMR CNRS 6609, 43 Route de l'Aérodrome, 86036 Poitiers Cedex

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