Sur les solutions spatialement périodiques de l'équation de Ginzburg-Landau complexe

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C. Delcarte en collaboration avec H.  Dang Vu*

Figure

Objet

L'objet de cette recherche est l'étude du comportement dynamique de solutions spatialement périodiques de l'équation de Ginzburg-Landau complexe :

 

 \begin{displaymath} \displaystyle {{\partial \Psi}\over {\partial t}} =b_0 \Psi ... ... }\over {\partial x^2}} -(b_3-ic_3 ) \vert\Psi \vert ^2 \Psi , \end{displaymath}

$\Psi =\Psi (x,t)$ est une fonction complexe en espace et en temps et b0, b1, c1, b3, c3 sont des constantes réelles.

Description

L'étude est faite par voie analytique, pour chercher des solutions exactes périodiques en temps et en espace, $A(x)\exp(i\omega t)$, et par voie numérique pour étudier la stabilité de l'amplitude stationnaire A(x). On utilise une transformation suggérée par Sirovich et Newton [1] qui permet d'écrire l'équation sous forme d'un système de trois équations différentielles du premier ordre dont on étudie la stabilité linéaire des points fixes en fonction des paramètres.

Résultats et perspectives

Nous avons montré dans [2] que l'équation de Ginsburg-Landau cubique possède une solution exacte paire, périodique en temps et en espace, de la forme :

\begin{displaymath} \Psi (x,t)=A_0p(x)e^{ik \log \vert p(x)\vert +i\omega t}\end{displaymath}

avec :

\begin{displaymath} p(x)=\displaystyle{{1}\over {\cos mx}} \end{displaymath}

La seule solution périodique en temps et en espace établie, à notre connaissance, est une onde plane. Nous avons prouvé également l'existence d'une solution homocline. La figure 1 donne l'évolution périodique de A(x) et la figure 2, la solution homocline correspondante.
Nous avons étudié dans [3] la stabilité de A(x) dans un sous-espace des paramètres. Les figures 3 et 4 donnent les sections de Poincaré, correspondant à trois valeurs initiales différentes, pour des valeurs des paramètres près d'une bifurcation de codimension 2 de type <<Fold-Hopf>>.
Pour des valeurs des paramètres proches de celles correspondant à la courbe homocline, la section de Poincaré possède une structure d'îles et d'archipels (figure 5).
Les bifurcations de type <<Fold-Hopf>> ont été peu étudiées, sauf dans le cas de l'attracteur de Rössler. Il est intéressant d'approfondir l'étude dans le cas de l'équation de Ginzburg-Landau.

Références

[1] L. Sirovich et P. K. Newton : <<Periodic solutions of the Ginzburg-Landau equation>>, Physica D 21, 115-125, 1986.
[2] H. Dang-Vu et C. Delcarte : On the spatially periodic solutions to the Ginzburg-Landau equation, soumis à Quarterly of Applied Mathemathics.
[3] H. Dang-Vu et C. Delcarte, Bifurcations and Chaos in the steady-state solutions of the Ginzburg-Landau equation, Journal of Technical Physics, 37, 317-325, 1996.

* UFR920, Mathématiques Pures et Appliquées, Université de Paris 6.

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