Superfluidité et turbulence

Superfluidité et turbulence

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C. Nore en collaboration avec M. Abid^*1 et M. Brachet^*2

Objet

Les écoulements standards sont décrits par l'équation d'Euler pour les fluides parfaits et les équations de Navier-Stokes pour les fluides visqueux. Les superfluides à très basse température (typiquement l'hélium en dessous de $T = 1 \; K$ ) obéissent à l'équation de Schrödinger Non Linéaire (ESNL). De nombreuses expériences en turbulence superfluide, réalisées à des températures où le modèle hydrodynamique valable est le modèle à deux fluides de Landau [1], ont montré une analogie forte avec la turbulence standard visqueuse. Notre étude, à l'aide de ESNL, a consisté à montrer que cette analogie persiste à des températures beaucoup plus basses.

Description

L'équation de Schrödinger Non Linéaire décrit l'ensemble des atomes d'hélium tous condensés en une seule phase superfluide par une fonction d'onde $\psi(\vec{r},t)$ représentant le condensat :

$\begin{displaymath} \frac{\partial{\psi(\vec{r},t)}}{\partial t} = i \psi + \fr... ...}{2} \mbox{${\bf \nabla}^{2}$} \psi - i \vert\psi\vert^{2}\psi.\end{displaymath}$ (1)

Elle admet une représentation hydrodynamique à l'aide de $\psi(\vec{r},t) = \sqrt{\rho}(\vec{r},t)\ exp(i\phi (\vec{r},t))$ où le fluide est décrit par sa densité $\rho$ et sa vitesse $\vec{v}=\mbox{${\bf \nabla}$} \phi$ . Cela correspond à l'étude d'un fluide parfait, compressible, irrotationnel sauf sur des tourbillons quantiques superfluides (défauts topologiques de l'équation (1).

A l'aide d'une méthode de préparation permettant de minimiser l'émission sonore, nous avons pu étudier un écoulement turbulent en déclin appelé le tourbillon de Taylor-Green (figure 1). Il s'agit d'un écoulement bien référencé dans la littérature [2] présentant une similarité avec des expériences clé de turbulence visqueuse [3] : il s'agit de l'écoulement se développant entre deux disques contrarotatifs. Des bilans énergétiques ont mis en évidence notamment une loi de répartition spectrale de l'énergie cinétique incompressible en k^-5/3 (figure 2) analogue à la loi de Kolmogorov. Des visualisations tridimensionnelles du champ de vorticité équivalent dans ESNL ont permis de suivre la dynamique des lignes tourbillonnaires qui reproduisent celle du tourbillon TG dans Navier-Stokes, dont le phénomène crucial aux échanges énergétiques est la reconnexion. De nombreuses reconnexions se sont produites entre la condition initiale (figure 1) et la figure finale (figure 3) où l'énergie cinétique a fortement décru.

Résultats et perspectives

Nous avons donc prédit, à l'aide de l'outil numérique et du modèle de ESNL, un comportement turbulent à la Kolmogorov dans l'hélium superfluide. Une question, ouverte aux investigations expérimentales, est de connaître les limites exactes de cette analogie entre la turbulence superfluide et la turbulence visqueuse. Une expérience est actuellement en cours de montage au Laboratoire de Physique Statistique dans l'équipe de P. Tabeling dans une géométrie similaire à nos simulations.

Références

[1] L. Landau and E. Lifchitz, Fluid Mechanics (Pergamon Press, Oxford, 1980).

[2] M. E. Brachet, D. I. Meiron, S. A. Orszag, G. Nickel, R. H. Morf, and U. Frisch, J. Fluid Mech. 130, 411 (1983).
[3] G. Zocchi, P. Tabeling, J. Maurer and H. Willaime, Phys. Rev. E 50, 3693 (1994).
[4] C. Nore, M. Abid and M. Brachet, <<Decaying Kolmogorov Turbulence in a Model of Superflow>>, accepté à Phys. Fluids A, (1997).
[5] C. Nore, M. Abid and M. Brachet : <<Kolmogorov Turbulence in Low-temperature Superflows>>, accepté à Phys. Rev. Lett., (1997).

*1 IRPHE et Université d'Aix-Marseille I,

*2 Laboratoire de Physique Statistique, ENS, Paris

Gpe Dynamique des Tansferts

Dpt Mécanique-Energétique

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