Calculs à précision spectrale de l'écoulement incompressible en cavité entraînée déformée

V. Delgado, G. Kasperski, G. Labrosse

Objet
Les méthodes spectrales Chebyshev sont reconnues pour leur capacité de fournir des solutions numériques précises des écoulements incompressibles, la détermination des seuils de transition et des diagrammes de bifurcation. Cependant leur utilisation est limitée aux géométries simples et fixes. Elles sont actuellement employées pour analyser des écoulements confinés. Impliqués depuis quelques années dans l'analyse numérique d'un pont liquide chauffé latéralement, deux auteurs [1] ont mis l’accent sur l'importance de l'exactitude intrinsèque de l'outil numérique pour obtenir des résultats convaincants. L’objectif est ici d’étudier l’influence de la déformation du domaine sur des écoulements de cavité entraînée [2].

Description
Une approche volumes finis est employée, combinée à une évaluation spectrale des résidus, et itérativement appliquée jusqu'à ce qu'un critère prédéfini de précision soit obtenu. Une méthode de découplage vitesse-pression spécifique est employée [3], où l'opérateur de Stokes n'est pas fractionné en temps. On a montré [4] que cette méthode est consistante avec le problème continu, contrairement aux approches à pas fractionnaires habituels.

Les problèmes de Laplace et de Helmoltz ont été résolus avec une méthode de formulation faible de collocation spectrale Chebyshev, preconditionnée par un opérateur volume fini. Elle permet le calcul des écoulements dans des géométries déformées avec une précision spectrale (l’erreur de troncature décroît exponentiellement avec le degré polynomial de troncature, si la solution est continûment dérivable) à un coût informatique comparable au coût d'une méthode de précision finie (l’erreur de troncature est proportionnelle a (Δx)n, n=1,2,3,...). La déformation définie par des fonctions continues sur les cotés verticaux du domaine. Ici, elle est définie par f(y)=1+Ad(1-y2) où Ad est l’amplitude de la déformation.

Des résultats sur l'efficacité numérique de cette stratégie et sur l'influence de la géométrie de la cavité sur les écoulements seront présentés. La méthode a été appliquée à un cas test dont la solution analytique est sin(4πx)sin(4πy) et à une configuration de cavité entraînée déformée.

Résultats et perspectives
Le cas test analytique sans déformation (Fig. 1a) montre la différence en valeur absolue entre la solution analytique et la solution calculée pour différents maillages en fonction des itérations. Les résultats montrent que le nombre d'itérations pour la convergence est peu sensible aux déformations d’amplitudes modérées (moins de 40%) (Fig. 1b).

Les écoulements de cavité entraînée sont très sensibles à la déformation imposée, menant à des solutions topologiquement différentes (Fig. 2). Une étude plus détaillée de l’effet de la déformation sur la transition à l’instationnarité des écoulements sera engagée.

Actuellement la méthode est appliquée à l’étude de la convection thermocapillaire en pont liquide dans un cas axisymétrique avec une déformation imposée de la surface libre. L’étude de l’influence de déformations dynamiques de la surface libre sur la dynamique des écoulements est envisagée.

Références

  1. G. Kasperski, G. Labrosse, On the numerical treatment of viscous singularities in wall-confined thermocapillary convection. Phys. Fluids 12  (2000), pp. 2695-2697.
  2. V.Delgado, G. Kasperski, G. Labrosse, Spectrally accurate numerical incompressible flows with deformed boundaries: a finite volume preconditioning method, Second International Conferance on Advanced Computational Methods in Engineering, Liège (Belgium, May 28-31, 2002.
  3. Batoul, H. Khallouf, G. Labrosse, Une méthode de résolution directe (pseudo-spectrale) du problème de Stokes 2D/3D instationnaire. Application à la cavité entraînée carrée. C. R. Acad. Sci. Paris, 319, Série II (1994), pp. 1455-1461
  4. Leriche, G. Labrosse, High-order direct Stokes solvers with or without temporal splitting: numerical investigations of their comparative properties. SIAM J. Scient. Computing , 22  (2000), pp. 1386-1410.

 

Figure 1: a ) Domaine non déformé : résidu vs nombre d’itérations pour les opérateurs de Laplace et Helmoltz . b) Résidu vs nombre d’itérations pour une déformation parabolique des parois verticales de différentes amplitudes.

Figure 2: Lignes de courant pour Re=1,100,400,800,1500 et des déformations paraboliques, de gauche à droite, Ad=-0.3,0.0,0.3, (N x M)=(71 x 71).