Instabilités 2D/3D de convection thermocapillaire en zone flottante fonctions du nombre de Prandtl

O. Bouzi, C. Dang Vu-Delcarte, G. Kasperski

Objet
La technique de la zone flottante est un procédé de croissance cristalline non contaminant. Un cylindre de matériau polycristallin est en partie liquéfié par chauffage latéral ; des instationnarités de l'écoulement dans la zone fluide, maintenue par capillarité, peuvent provoquer des défauts dans la structure monocristalline naissante. L'objet de cette recherche est de déterminer numériquement les valeurs du nombre de Marangoni critique, Mac , et la nature des instabilités en fonction du nombre de Prandtl, Pr, du matériau.
 

Description
La zone fluide est soumise à un flux thermique latéral, symétrique par rapport au plan horizontal médian. Elle est maintenue en place, entre deux disques rigides isothermes, plans et horizontaux, par les forces de tension superficielle. Nous nous plaçons en gravité nulle. La surface latérale est supposée cylindrique et indéformable. La contrainte thermocapillaire impose un gradient horizontal de la vitesse verticale donnant lieu, à faibles valeurs de Ma, à un écoulement stationnaire formé de deux rouleaux contrarotatifs symétriques par rapport au plan médian (figure 1).

Figure 1: Solution Stationnaire à Pr=10-3, Ma=1.3, de gauche à droite les champs de fonction de courant, composantes horizontale et axiale de la vitesse, et température.

 

Résultats et perspectives
Un résultat important de nos recherches pour l'écoulement axisymétrique est la mise en évidence, pour Pr ε [3 10-3, 3.2 10-2 ] (correspondant au silicium), de solutions multiples dont certaines brisent la symétrie haut/bas [1] et qui sont dues à une bifurcation fourche du mode 0. La figure 2 donne les valeurs de Mac des 3 premiers modes déstabilisants azimutaux en fonction de Pr ; le premier mode déstabilisant, donnant lieu à une bifurcation fourche, est le mode 2. On notera la forte dépendance des seuils en fonction de Pr [2].

diagramme de stabilité

Figure 2: Diagramme de stabilité dans l'espace Pr-Ma .

Une autre partie de nos recherches a porté sur la détermination des zones les plus sensibles aux perturbations par la méthode de l'adjoint. La figure 3 donne le champ de température stationnaire, le premier mode propre de perturbation du système d'équations linéarisées autour de l'état stationnaire et celui du système adjoint.
adjoint

Figure 3: Champ stationnaire, premier mode propre de perturbation en température et premier mode adjoint correspondant.

Les numéros correspondent aux perturbations les plus déstabilisantes : elles s'ordonnent par valeur décroissante de l'amplitude du mode adjoint en température [3]. Un code 3D spectral Chebyshev/Fourier, est en cours d'exploitation, pour atteindre les états non-linéaires après bifurcation.
 

Références
[1] Chénier E., Delcarte C., Kasperski G. et Labrosse G. : << Sensitivity of the liquid bridge hydrodynamics to local capillary contributions>>. Phys. of Fluids, 14(9), pp 3109-3117, 2002.
[2] Bouizi O., Delcarte C., Kasperski G. : << Seuils de transition 2D/3D de la convection thermocapillaire en zone flottante>>. 16ème Congrès Français de Mécanique, Nice 3-6 sept. 2003. [3] Bouizi O., Delcarte C. : << Localisation des zones sensibles aux perturbations en zone flottante par la méthode de l'adjoint>>. Congrès SFT2003, Grenoble, 3-6 juin 2003.