Perméabilités de Darcy en milieux poreux périodiques anisotropes

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M. Firdaouss, en collaboration avec P. Du Plessis 1

 

Figure

Objet

Les modèles actuels expriment la perméabilité de Darcy K uniquement en fonction de la porosité Æ. On montre dans le cas des milieux poreux périodiques bidimensionnels qu'il est nécessaire d'introduire deux autres paramètres : le premier est basé sur le rapport de forme géométrique des inclusions solides, le second permet de définir la nature du réseau (en ligne ou en quinconce). Les résultats numériques obtenus sont comparés favorablement à une formulation analytique proposée.

Description

On résout les équations de Stokes en milieu poreux périodique à l'échelle microscopique au niveau d'une cellule de base généralement anisotrope. Cinq géométries (Figure 1) ont été retenues dans les calculs afin de couvrir une large gamme de milieux poreux modèles :
- Cylindres de section Carrée Alignés dans une Cellule de base Carrée (SCASA)
- Cylindres de section Rectangulaire en Quinconce dans une Cellule de base Carrée (RCSSA)
- Cylindres de section Rectangulaire Alignés dans une Cellule de base Rectangulaire (RCARA)
- Cylindres de section Carrée en Quinconce dans une Cellule de base Rectangulaire (SCSRA)
- Cylindres de section Rectangulaire en Quinconce dans une Cellule de base Rectangulaire (RCSRA)
Deux cas test ont été étudiés : le premier concerne les cas où les solides sont alignés, l'écoulement intersticiel est quasi monodimensionnel et comporte des zones stagnantes entre les solides dans la direction perpendiculaire à l'écoulement. Le second concerne les cas où les solides sont disposés en quinconce et ne comporte pas de zones stagnantes car l'écoulement a également lieu dans la direction transverse au gradient macroscopique de pression.

Résultats et perspectives

Les résultats numériques obtenus par une méthode d'éléments finis mixtes sont comparés à un modèle analytique simple qui suppose que la force de résistance locale est assimilable à celle d'un écoulement de Poiseuille entre deux sections solides parallèles formées par des géométries rectangulaires. Le traitement analytique du problème permet le regroupement des résultats en une expression unifiée tenant compte des conditions physiques de l'écoulement. La contribution du présent travail est la prise en compte du facteur de forme des sections solides λ ainsi que du paramètre β qui indique, lorsque les particules solides sont placées en quinconce, que les contraintes de cisaillement sont effectives dans la direction transverse et s'opposent à l'écoulement. L'équation suivante est alors suffisante pour prédire les perméabilités de Darcy dans toutes les géométries étudiées. Cette équation est également applicable aux milieux poreux de même type de géométrie et ayant des rapports de forme différents.

K=[(1-√1-Æ)3)/(12√1-Æ)] .[(λ)/((1 + βλ4)/4)]

Les coefficients λ et β sont présentés (Tableau 1) pour toutes les configurations étudiées. La comparaison des résultats numériques avec les prédictions de cette équation est présentée sur la figure 2. Sur cette figure les résultats numériques et analytiques sont divisés par le facteur λ/(1 + βλ4)/4) . Le modèle analytique proposé n'est pas performant pour les valeurs importantes de la porosité. Ceci est dû au fait que lorsque la porosité augmente, l'hypothèse d'écoulement de Poiseuille entre deux plaques planes n'est plus vérifiée. Pour les faibles porosités, les prédictions du modèle sont précises pour toutes les géométries étudiées malgré la simplicité du modèle physique considéré.

 

Références

 [1] M. Firdaouss, P. Du Plessis: ``A new model for prediction of Darcy permeabilities in non-isotropic periodic two-dimensional porous media'', soumis à publication.
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1 Department of Applied Mathematics, University of Stellenbosch, South Africa

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