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Objet

La Simulation des Grandes Echelles a fait l'objet d'une attention particulière, ces dernières années, du fait de la puissance qu'offre cette méthode dans l'analyse de la dynamique des écoulements, y compris dans le cas d'applications industrielles. Dans ce type d'approche, la qualité des résultats dépend non seulement de la capacité du modèle de sous maille à reproduire les interactions entre différents niveaux d'échelles, mais aussi de la capacité du schéma numérique (associé au maillage de calcul) à reproduire la physique des phénomènes mis en jeu. De ce fait, la dissipation intrinsèque du schéma doit être suffisamment faible pour minimiser les interactions possibles avec le modèle de sous maille. Dans le cadre particulier des écoulements compressibles, il est alors important d'utiliser un schéma capable de représenter à la fois les petites structures de l'écoulement avec un minimum de dissipation numérique et de capturer les discontinuités avec la robustesse commune aux schémas de type Godunov.

Description

Pour atteindre ce double objectif, les schémas à Variation Totale Décroissante (TVD) sont de bons candidats pour la capture des discontinuités, mais présentent un caractère trop diffusif dans les régions régulières de la solution du fait de la limitation au premier ordre proche des extréma de la solution. Des schémas plus récents, comme la famille des schémas ENO/WENO, fournissent des approximations très précises pour les régions régulières, mais présentent un comportement diffusif au voisinage des discontinuités, du fait de la sélection du support d'interpolation le plus régulier parmi tous les supports possibles. Une autre approche a été récemment développée [1] à partir de reconstructions polynomiales sur des supports spatiaux fixes. La reconstruction des valeurs de la fonction aux interfaces des cellules du maillage est alors limitée pour satisfaire d'une part la monotonie et d'autre part une haute précision. Ceci est obtenu par des considérations géométriques locales pour relaxer les conditions de monotonie au voisinage des extréma.

Résultats et perspectives

En poursuivant les travaux qui avaient été initialisés sur des schémas du 3^ème ordre [2], nous avons développé des schémas TVD d'ordre élevé à partir d'une approche de type Lax-Wendroff (couplé espace-temps). Ces schémas sont obtenus relativement simplement en modifiant la fonction limiteur appliquée au schéma TVD classique. Néanmoins, la contrainte TVD a tendance à dégrader fortement la représentation des extrémas de la solution. Pour améliorer ces artefacts, une contrainte préservant la monotonie [1] a été utilisée avec ces schémas d'ordre élevé. Nous avons généralisé la contrainte de monotonie en réécrivant cette contrainte en terme de contrainte TVD. Les résultats obtenus à partir d'un schéma d'ordre 7 (en linéaire 1D) (MPO7), basé sur une contrainte de préservation de la monotonie, sont de qualité équivalente, dans les régions régulières, à ceux obtenus par une approche WENO (r=5, ordre 6), que ce soit dans le cas scalaire (figure 1, à gauche) ou sur des cas classiques Euler monodimensionnels figure 1 (à droite) et figure 2. Les discontinuités sont par ailleurs moins étalées par le schéma MPO7. Ces deux schémas ont enfin été comparés sur le difficile problème visqueux du tube à choc 2D qui avait été étudié dans [2] et [3]. Les résultats sont comparables avec les deux schémas sur un maillage relativement grossier (500x250) (figure 3). Ces solutions sont très proches de celle considérée comme référence [3]. Cette étude se poursuivra pour valider plus en détail ce nouveau schéma dans le cas multidimensionnel, en particulier pour ce qui concerne la préservation de la monotonie.

Références

[1] Suresh A. and Huynh H.T. : "Accurate Monotonicity-Preserving Schemes with Runge-Kutta Time Stepping",J. Comput. Phys., 136, 83--99 (1997).
[2] Daru V. and Tenaud C. : "Evaluation of TVD high resolution schemes for unsteady viscous shocked flows",  Comp. and Fluids, 30, 89--113 (2001).
[3] Sjögreen B. and Yee H.C. : "Grid convergence of high order methods for multiscale complex unsteady viscous compressible flows", to appear in AIAA Journal, (2002).

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