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Objet

La construction de méthodes de pas fractionnaire d'ordre élevé pour l'approximation des équations de Navier--Stokes est un problème non trivial. Les méthodes de projection sont des techniques de pas fractionnaires qui découplent les mécanismes de convection--diffusion et l'incompressibilité. Ce découplage induit une erreur de fractionnement qui limite la précision des algorithmes. Par exemple, la méthode de projection de Chorin--Temam est limitée à l'ordre Ο(Δt) ; cette méthode ne peut donc pas servir de base pour la construction d'une méthode d'ordre deux ou plus. L'objet du présent travail est de développer et de justifier théoriquement des méthodes de pas fractionnaire inconditionnellement stables et d'ordre le plus élevé possible.

Description

Ce travail de recherche est mené en collaboration avec Jie Shen (Prof. Univ. Central Florida) accueilli sur poste rouge. Nous avons revisité les méthodes de projection de Chorin--Temam du type correction de pression et nous avons introduit une nouvelle classe de méthodes que nous avons bâptisées méthodes de correction de vitesse. Nous avons prouvé que la variante rotationnelle de la méthode de correction de pression et la même variante de la méthode de correction de vitesse, convergent en Ο(Δt²)  sur la vitesse en norme L² et en Ο(Δt^3/2) sur la vitesse en norme H¹ et la pression en norme L². Nous avons aussi démontré que les méthodes de correction de vitesse fournissent le bon cadre fonctionnel pour l'analyse des techniques de splitting introduites par Deville, Israeli, Karniadakis et Orsag, il y a une dizaine d'années et nous avons prouvé le premier résultat de stabilité et de convergence pour ces méthodes.

Résultats et perspectives

Pour illustrer les caractéristiques des algorithmes étudiées nous avons réalisé des tests de convergence. Ces tests consistent à comparer une solution analytique à la solution approchée et à représenter l'erreur mesurée dans différentes normes en fonction du pas de temps Δt. Nous avons réalisé des séries de tests avec une approximation par éléments finis P₂/P₁et une approximation spectrale du type Galerkin--Legendre. Les résultats pour les deux variantes de la nouvelle méthode de correction de vitesse sont reportés dans la figure 1. Toujours pour la méthode de correction de vitesse, nous représentons dans la figure 2 l'erreur commise sur la pression pour les deux variantes de la méthode pour l'approximation par éléments finis et la méthode spectrale. Il est clair que la forme, dite rotationnelle, de la méthode est plus précise que la forme standard, confirmant nos résultats théoriques.

Références

[1] J.-L. Guermond, J. Shen : "Quelques résultats nouveaux sur les méthodes de projection~"C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 333p. 1111--1116, 2001.
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¹ Department of Mathematics, University of Central Florida, Orlando, USA

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