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Objet

Les méthodes inverses existantes pour machines tournantes sont pour la plupart basées sur des formulations en variables primitives i.e Vitesse-Pression. Elles prennent comme données initiales les profils de vitesse à la fois sur l'extrados et l'intrados, et de ce fait n'ont aucun moyen de contrôle sur l'énergie transférée entre la machine et le fluide, et n'assurent pas forcément la fermeture de l'aube. On propose ici une approche inverse originale dont les principales variables sont la vorticité  Ω et une fonction scalaire  Ø semblable au potentiel classique qui, de plus, peut prendre en compte l'effet dû au rotationnel provenant du sillage amont d'où le nom de pseudo-potentiel. Les données initiales sont d'une part le saut de moment cinétique (ΔV_θr), lequel est directement lié à l'énergie échangée entre la machine et le fluide, c'est-à-dire à l'élévation de pression totale dans le cas d'une pompe hydraulique, et d'autre part, la loi d'épaisseur de l'aube, préconisée par un calcul préalable de structure, qui garantit la fermeture de l'aube.

Ce saut de moment cinétique imposé permet de contrôler la circulation Γ autour de toute section d'aube découpée par une nappe de courant de révolution, donc finalement permet au concepteur d'optimiser la géométrie de l'aube en choisissant judicieusement une loi de répartition de charge afin d'éviter la cavitation ou le décollement. De surcroît, la connaissance de Γ  nous renseigne également sur le profil de l'angle de sortie du fluide qui conditionne tout l'écoulement en aval de la machine étudiée.

Description

En adoptant la formulation tensorielle dans un système de coordonnées curvilignes, le pseudo-potentiel est introduit en relation avec la circulation évaluée le long de la première coordonnée du système et la composante covariante U₁ est identique à celle du vrai potentiel. Les 2 autres composantes U₂ et U₃ sont déduites des expressions cinématiques reliant la vitesse à son rotationnel. Afin de bâtir un maillage structuré de bonne qualité, on traite d'abord l'écoulement méridien S2 qui détermine les nappes de courant de révolution, chacune de celles-ci est ensuite ramenée en un plan par une transformation conforme. On y définit alors un maillage orthogonal par la méthode des singularités et enfin on assemble toutes ces nappes suivant une ligne d'empilement pour obtenir un maillage 3D. La condition de Neumann est appliquée aux frontières amont et aval ainsi qu'au moyeu et carter et la condition de glissement sur l'aube.

La procédure itérative pour obtenir le champ de vitesse et son rotationnel est la suivante : à chaque étape, on fige d'abord les composantes de Ω pour évaluer U_i d'après les expressions cinématiques et les Uⁱ en termes de Ø, on résout l'équation de continuité pour Ø, et maintenant en figeant les composantes de V déduites des nouvelles valeurs de Ø, on détermine le champ Ω  en résolvant l'équation de transport de tourbillon et on répète l'opération jusqu'à ce que le champ du rotationnel soit stabilisé. Le modèle de transpiration est utilisé pour rectifier la ligne de cambrure sur chaque nappe et un nouveau maillage est généré, et ainsi de suite jusqu'à convergence du squelette de l'aube.

Résultats et perspectives

On donne sur la page de gauche un résultat de calcul effectué sur un rotor isolé (un ventilateur d'1 m de diamètre et d'une puissance de 15 kW) placé dans un vent uniforme incompressible non visqueux. On y voit le maillage dans le plan de calcul et dans le plan physique, et les sections d'aubes obtenues par le calcul méridien S2, le calcul aube à aube S1 et le calcul 3D. L'aube 3D présente une cambrure plus marquée que celle de S1 lorsqu'on se rapproche du moyeu et donc semble plus chargée localement bien que la charge globale sur la pale soit la même qu'en S1.

L'extension de cette méthode en fluide compressible au régime transsonique est en cours d'étude.

Références

1] Viney B., Luu T.S.: ``A 3D inverse method using (pseudo) potential-vorticity formulation for turbomachinery flows'', proposé à US ASME-EFESC'2002, Montreal, Canada, July'2002.

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