Figure

Objet

Dans les écoulements turbulents se forment spontanément de longs tourbillons intenses quasi-rectilignes~[1]. Aussitôt formés, ils se déstructurent assez violemment et disparaissent. Pour déterminer les mécanismes en jeu dans cette disparition, on se heurte au manque d'information sur l'environnement du tourbillon ainsi que sur le tourbillon lui-même. L'écoulement dans les tourbillons semble hélicoïdal (au moins par endroits), ce qui est susceptible de provoquer une forte instabilité. Une première étude avait permis de proposer un mécanisme de déstructuration~[2], sans toutefois prendre en compte l'environnement du tourbillon, en particulier les grandes échelles de la turbulence qui le soumettent à des champs de déformation (compression et étirement). Ce dernier effet a été étudié par Gibbon et al. [3] pour un écoulement de vortex pur. On étend ici leur étude au cas plus général d'écoulements tourbillonnaires présentant une composante de jet selon l'axe pour se rapprocher de la réalité expérimentale. De plus, les propriétés d'instabilité de cet écoulement instationnaire sont reliées à celles, documentées, d'un tourbillon stationnaire grâce à une approximation quasi-statique.

Description

Les équations de Navier--Stokes pour un fluide incompressible sont linéarisées au voisinage de l'état de base que constitue le tourbillon de Batchelor soumis à un champ de déformation d'intensité γ(t), de même axe principal. Un changement des variables spatiales et temporelles qui épouse le champ de déformation permet de se ramener à une équation pour les perturbations de vitesse et de pression (u,p) :

Ces équations écrites dans les variables transformées sont les équations d'instabilité d'un écoulement stationnaire de vitesse de base U^2D modifiées par α(t), un paramètre instationnaire lié à l'étirement γ(t). Les propriétés de stabilité ne peuvent être reliées à celles d'un écoulement stationnaire que dans la limite d'un régime quasi-statique, pour des variations suffisamment lentes de γ(t) et moyennant une renormalisation des variables suivant z.

Résultats et perspectives

La figure 1(a) illustre l'évolution temporelle de l'énergie de la perturbation dans un tourbillon de Batchelor soumis à un champ de compression (γ = -0.05 pour t < 19) puis d'étirement (γ = +0.025 pour t > 19). La condition initiale est composée de bruit blanc. Interprétée dans le cadre quasi-statique, la croissance observée est reliée à l'entrée du tourbillon, du fait de sa compression, dans son domaine d'instabilité, déterminée par le taux de rotation du vortex dans les variables non transformées. Cette croissance n'est que transitoire, puisqu'il regagne, du fait de l'étirement, son domaine de stabilité. La figure 1(b) montre qu'une déformation trop intense (|γ| > 0.05) inhibe l'instabilité, le domaine instable étant ``traversé'' trop rapidement. La figure 2 dévoile, dans les variables transformées, la topologie de la perturbation lors de la simulation à γ = ±0.025. Elle indique que le vortex forme des brins de vorticité similaires à ceux de l'expérience [1]. Il reste à étudier numériquement la saturation de ces structures en réintroduisant les termes non linéaires.

Références

[1] O. Cadot, S. Douady, Y. Couder : ``Characterization of the low pressure filaments in three-dimensional turbulent shear flow''. Phys. Fluids 7(3), 630--646 (1995).
[2] I. Delbende, J.-M. Chomaz : ``Bursting of a swirling jet stemming from a localized perturbation''. In Vortex Structure and Dynamics. Lecture notes in Physics, ed. by A. Maurel and P. Petitjeans, Springer Verlag, pp 140--146 (2000).
[3] J.D. Gibbon, A.S. Fokas,  & C.R. Doering : ``Dynamically stretched vortices as solution of the 3D Navier--Stokes equations''. Physica D 132<#35#>, 497--510 (1999).
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¹ LMM, UMR 7016
² IRPHE--CNRS, UMR 6594

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