Figure

Objet

Le problème classique de l'écoulement à l'aval d'un cylindre circulaire est caracterisé par un seul paramètre, le nombre de Reynolds Re ∂≡U∞d/v, où U∞ est la vitesse du fluide loin du cylindre, d est le diamètre du cylindre et v est la viscosité cinématique. Pour un faible nombre de Re, l'écoulement est stationnaire et à Re≈ 47 il devient instationnaire au travers d'une bifurcation de Hopf, menant à des tourbillons de signe alternant qui se détachent du cylindre périodiquement dans le temps [1]. A Re≈ 189  l'écoulement périodique 2-D devient linéairement instable à un écoulement 3-D avec une longueur d'onde de 4 diamètres du cylindre [2,3]. Des calculs numériques ont établi la limite précise de stabilité pour l'écoulement 2-D, mais le mécanisme qui est responsable de l'apparition de la tridimensionnalité reste inconnu, en grande partie à cause de l'instationnarité de l'écoulement de base. Une explication reposant sur le mécanisme de l'instabilité elliptique a été proposée par Williamson et ses collaborateurs [4]. Mais les mécanismes proposés sont fondés sur des analyses approximatives de l'écoulement instantané et non pas sur une analyse rigoureuse de l'écoulement périodique en temps.

Description

Le sillage 2-D a été calculé en utilisant une discrétisation en éléments spectraux des équations de Navier-Stokes. A partir de ces calculs nous avons obtenu des écoulements 2-D périodiques de la forme : U(x, y, t + T) = U(x, y, t)  où T est la période de détachement tourbillonnaire. La stabilité de U est caracterisée par le spectre des multiplicateurs de Floquet pour les équations de Navier-Stokes linéarisées autour de l'écoulement périodique. Les multiplicateurs de Floquet ont été calculé en fonction de Re et du nombre d'onde transverse β utilisant la même discrétisation en éléments spectraux, à l'aide de la méthode d'Arnoldi.

Nous comparons cette analyse de Floquet du sillage périodique à une analyse de l'écoulement fixé U(x, y, t*) à un instant t^*. Appellons ceci la stabilité locale à t^*. Nous avons calculé la stabilité locale du sillage 2-D en fonction de t^* le long du cycle périodique. Nous avons effectué ce calcul en fonction de Re et β en utilisant de nouveau la méthode d'Arnoldi. Ces calculs, comparable à l'analyse de Williamson et al., montrent que l'écoulement est localement stable en l'absence des effets de l'instationnarité.

Résultats et perspectives

La figure 1(a) résume l'analyse de stabilité de Floquet du sillage en montrant les régions dans le plan Re-λ dans lesquelles le sillage 2-D est linéairement instable. Dans les régions instables, il existe des multiplicateurs de Floquet réels et positifs. La figure 1(b) montre des résultats de l'analyse de stabilité locale à deux valeurs de Re avec λ=4. Il est particulièrement intéressant que pour Re=190, l'écoulement soit localement stable à chaque instant t^*, malgré le fait que l'écoulement périodique soit instable, c'est-à-dire dans la région instable de la figure 1(a). La figure 1(c) montre comment la stabilité locale dépend de β à Re=190. Les résultats pour Re=200 sont semblables. La Figure 2 montre le mode propre qui ressort de l'analyse de stabilité locale à l'instant où la valeur propre correspondante est maximale [figure 1(b)]. Ceci est comparé avec le mode de Floquet au même instant. On voit que l'analyse locale instantanée donne une fausse impression de l'instabilité 3-D du sillage et que l'utilisation d'écoulements instantanés demande beaucoup de soin.

Références

 [1] C.P. Jackson (1987), J. Fluid Mech. 182, 23--45.
[2] D. Barkley  R.D. Henderson (1996), J. Fluid Mech. 322, 215-241
[3] C.H.K. Williamson (1996), Ann. Rev. Fluid Mech. 28, 477--539.
[4] C.H.K. Williamson (1996), J. Fluid Mech. 328, 345--407.

T. Leweke  C.H.K. Williamson (1998) Eur. J. Mech. B/Fluids;SPMquot; 17, 571--586.

M.C. Thompson, T. Leweke, C.H.K. Williamson (2001), J. Fluid Struct.15, 607--616.

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