Figure

Objet

L'écoulement produit dans une cavité cylindrique par l'entraînement de deux disques en rotation a été le sujet d'études théoriques, expérimentales et numériques exhaustives depuis [1] et a été baptisé écoulement de von Kármán par [2]. Parmi ces écoulements, celui engendré par deux disques en contra-rotation avec une paroi latérale immobile a permis d'atteindre des nombres de Reynolds de l'ordre de 10⁷, voisins des expériences de turbulence de grille. Or, la route vers le chaos de cet écoulement turbulent n'a pas été précédemment étudiée.

Description

Nous intégrons les équations de Navier-Stokes pour un champ de vitesses en fluctuation autour d'un état de base axisymétrique à l'aide d'une méthode en différences finies sur maillage décalé en coordonnées cylindriques, r, z, θ, où  θ est traité dans l'espace de Fourier. L'incompressibilité est imposée par une technique de matrice d'influence pour l'état de base (à la précision machine) et par une méthode de projection pour le code non linéaire en fluctuation. Le problème possède trois paramètres adimensionnels : le rapport entre la hauteur du cylindre et son rayon Γ= H/R, le nombre de Reynolds Re≡Ω_lowR² /v et le rapport des vitesses de rotation s≡Ω_up/Ω_low, où v  est la viscosité cinématique du fluide et Ω_low/Ω_up les vitesses de rotation des disques du bas et du haut. Nous avons fixé les paramètres à Γ =2 et s=-1. Le système est alors invariant suivant le groupe des rotations autour de l'axe du cylindre et suivant la symétrie supplémentaire par rotation de π autour de tout axe horizontal, appelée R_π.

Résultats et perspectives

Nous avons d'abord réalisé une étude de la stabilité linéaire de l'état de base axisymétrique pour les paramètres précédents afin de déterminer les valeurs critiques du nombre de Reynolds pour la bifurcation primaire. Le mode m=1 est le premier à bifurquer à Re_M=349, suivi du mode m=2 à Re_P ≈ 401. Nous avons calculé les états stables successivement rencontrés par l'écoulement en fonction de Re : des états stationnaires correspondant à m=1 (dénotés M), des ondes tournantes (TW), des cycles hétéroclines (Het) et des états stationnaires correspondant à m=2 (P), tous indiqués dans le diagramme de bifurcation (1). Les états M, TW, P sont représentés en figure 2 par les isovaleurs de la vitesse verticale totale à mi-hauteur du cylindre (z=0). Ils correspondent respectivement à une solution à un tourbillon, à une solution tournante à une vitesse de précession dépendant de Re et à une solution à deux tourbillons. Les solutions les plus exotiques de ce système sont les ondes tournantes (issus de M par une bifurcation ``drift-pitchfork'') et les cycles hétéroclines [3,4]. Ces derniers correspondent dans notre cas à une oscillation périodique entre deux états m=2 reliés par une rotation de π/2. Le basculement d'un état m=2 à un autre est dû à la croissance rapide du mode m=1 qui décroît rapidement ensuite. Ces cycles peuvent avoir une période différente suivant le nombre de Reynolds et les conditions initiales utilisées [5] (cf figure~3). Les perspectives peuvent être d'ordre expérimental ou numérique, afin d'étudier l'influence des défauts dans une réalisation qui briserait faiblement les symétries du système.

Références

[1] Batchelor G.K. 1951, Q. J. Mech. Appl. Math. 4, 29--41.
[2] Zandbergen P. J. Dijkstra D. 1987, Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 465--491.
[3] Armbruster D., Guckenheimer J. Holmes P. 1988, Physica D 29, 257--282.
[4] Proctor, M. R. E. Jones, C. A. 1988, J.~Fluid Mech. 188, 301--335.
[5] Nore C., Tuckerman L.S., Daube O. Xin S. 2002, soumis à J. Fluid Mech.

Groupe DTI		Dpt Mécanique		Sommaire		Présentation

visiteurs.