Figure

Objet

Depuis plusieurs années, nous nous intéressons aux écoulements interdisque et plus particulièrement à leur transition à l'instationnarité. Nous avons les années précédentes rapporté des comportements qui nous semblaient étranges [1]. Ainsi, pour des rapports d'allongement suffisamment grands, nous avons observé ce qui nous paraissait être une transition directe d'un régime stationnaire à un régime chaotique. Nous mettons ici en évidence par expérimentation numérique, le caractère sous-critique de la bifurcation et la présence d'une branche à grande amplitude s'étendant notablement en deça du seuil d'instabilité linéaire.

Description
Cette mise en évidence expérimentale a nécessité l'utilisation conjointe de plusieurs outils numériques [2]. La démarche suivie peut être résumée ainsi :

1.) Calcul d'une solution stationnaire de base, stable ou instable, par la méthode de Newton préconditionnée qui avait été proposée par L. Tuckerman [3],
2.) Encadrement du seuil de stabilité linéaire de la solution de base par le calcul des valeurs propres dominantes et/ou l'intégration temporelle des équations linéarisées pour quelques valeurs du nombre de Reynolds. Le calcul des valeurs propres dominantes est effectué à l'aide du logiciel ARPACK [1],
3.) Détermination de la nature sous ou super critique de la bifurcation par intégration des équations complètes en perturbation pour une valeur du Reynolds légèrement supérieure au seuil d'instabilité linéaire, et ceci pour différentes amplitudes de perturbations initiales,
4.) Mise en évidence d'une branche à grande amplitude s'étendant loin en dessous du seuil d'instabilité linéaire par la même technique que pour le point précédent.

Résultats et perspectives
Nous présentons sur la page de gauche, quelques illustrations de cette méthodologie appliquée à la configuration R₀/H=10, le bandeau périphérique étant solidaire du disque tournant (voir figure 1). Le maillage comporte 601161 noeuds. Sur la figure (2), on montre les valeurs propres dominantes pour Re = 2200, 2300 et 2500. On constate que la paire dominante de valeurs propres devient à partie réelle positive entre Re=2200 et Re=2300. Le seuil d'instabilité linéaire se situe donc entre ces deux valeurs. Pour déterminer la nature de la bifurcation, nous avons intégré les équations complètes à Re = 2300, en partant de différentes conditions initiales (en perturbation) d'amplitude de plus en plus petite, jusqu'à 10^-8 fois l'amplitude de la solution de base. Nous n'avons ainsi jamais obtenu de solutions monopériodiques comme le spectre aurait pu le laisser penser, la solution étant toujours attirée vers un régime apparemment chaotique. Nous sommes conscients qu'il ne s'agit pas là d'une preuve absolue de la nature sous-critique de la bifurcation, mais cela montre au moins qu'une éventuelle solution monochromatique, signe d'un caratère supercritique, est virtuellement inaccessible. Nous avons ensuite essayé de déterminer jusqu'à quelle valeur du nombre de Reynolds ( en dessous du seuil d'instabilité linéaire ) s'étend la branche à grande amplitude. Pour cela, nous sommes partis des solutions stationnaires de base et avons effectué l'intégration complète des équations à partir de conditions initiales correspondant à des perturbations en vitesse azimutale à différentes amplitudes. On montre sur la figure (3) l'évolution temporelle de la norme euclidienne de la fluctuation de tourbillon pour des calculs correspondant à Re = 1800. On voit bien que dès que l'amplitude de la perturbation dépasse un certain seuil, qui correspond ici à 10^-7 de l'énergie de la solution de base, la solution bascule sur la branche à grande amplitude, tandis que pour des amplitudes inférieures, elle retourne à la solution de base, conformément à l'étude de stabilité linéaire. Des résultats similaires sur une configuration rotor-stator avec moyeu font l'objet d'un article en cours d'examen pour publication au J. Fluid Mech. [1].

Références
[1] O. Daube, P. Le Quéré, N. Cousin-Rittemard et R. Jacques : ``Influence of curvature on transition to unsteadiness and chaos of rotot-stator disk flows'', soumis pour publication au J.F.M..
[2] E. Gadoin, P. Le Quéré, O. Daube : ``A general methodology to investigate flow instabilities in complex geometries: application to natural convection in enclosures'', en révision pour l'I.J.N.M.F..
[3] L.S. Tuckerman : ``Steady state solving via Stokes preconditionning: Recurrence relations for elliptic operators'', Lecture Notes in physics, p. 573, Ed. Dwoyer, Hussaini, Voigt, New-York 1989.

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