Convection naturelle en cavité 2D à grands écarts de température

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C. Weisman, B. Maherault, B. Vaillant et P. Le Quéré

Figure

Objet

L'objectif est d'étudier les écoulements d'air de convection naturelle dans une cavité 2D, lorsque sont imposés entre les parois verticales de grands écarts de température. A cet effet, on utilise les équations asymptotiques de l'approximation faible nombre de Mach, obtenues par Paolucci par filtrage des ondes sonores. Un code volume finis/projection et un code spectral ont été utilisés pour calculer les solutions stationnaires en cavité carrée dans le cadre d'un benchmark qui s'est tenu lors du $12^{\hbox{\\lq eme}}$ séminaire ``Mécanique des fluides numérique'' du CEA. On s'est aussi intéressé à la transition vers l'instationnaire dans une cavité de rapport de forme 4.

Description

On note $\varepsilon = \frac{\Delta T}{2T_0}$ l'écart de température imposé rapporté à la température moyenne T0. On étudie, ici, la gamme $\varepsilon \in [0.01,0.6]$. Les parois horizontales sont adiabatiques. Le nombre de Prandtl est choisi constant et la viscosité est soit constante, soit donnée par la loi de Sutherland. Le nombre de Rayleigh est défini par $\displaystyle{ Ra=Pr{g\rho(T_0)^2\varepsilon L^3_0}/{\mu(T_0)^2} } $.

L'écoulement est modélisé par les équations établies par Paolucci [1], mises sous forme adimensionnelle [2]. Ces équations sont intégrées sous forme instationnaire en utilisant une méthode à pas fractionnaire, dérivée des méthodes classiques de projection en incompressible afin d'obtenir à chaque pas de temps des champs de vitesse à la divergence voulue. La discrétisation en temps allie un traitement implicite des termes visqueux ou diffusifs et un traitement explicite des termes convectifs. L'équation de l'énergie est discrétisée sous forme convective, et les équations de conservation de la quantité de mouvement sous forme conservative. Dans le code volumes finis, les systèmes linéaires sont résolus par une méthode ADI incrémentale, et l'équation elliptique donnant la correction de pression est résolue par une méthode multi-grilles. Le code spectral utilisé est décrit dans [3]. Les maillages utilisés sont uniformes dans la direction verticale et non uniformes (Chebyshev) dans la direction horizontale. Les équations sont intégrées jusquà stationnarité. Nous avons ensuite utilisé l'algorithme volume finis pour étudier la transition vers l'instationnaire.

Résultats et perspectives

L'obtention de solutions de référence dans le cadre d'un benchmark est conditionnée par le soin apporté pour satisfaire les convergences en temps et en maillage. Pour cette dernière, on a utilisé le principe d'extrapolation de Richardson qui utilise des solutions obtenues sur des maillages de finesse différente, supposés dans la zone de convergence asymptotique. Avec l'algorithme volumes finis [4], ceci nous a permis de montrer (fig. 1) que la loi de convergence est en 1/N2 (où N est le nombre de points de maillage dans une direction), et que, pour Ra=106, la solution pour N=64 n'est pas encore dans la zone de convergence. Nous avons ensuite extrapolé au maillage $N \rightarrow \infty$ les valeurs locales et globales demandées. Pour Ra=107, il est nécessaire d'utiliser un maillage $1024 \times 1024$ pour obtenir la convergence spatiale. Avec l'algorithme spectral un maillage de $80 \times 80$ est suffisant à Ra=106 [3].

En cavité de rapport de forme 4 et sur un maillage $64 \times 128$, le nombre de Rayleigh critique est voisin de $3.6 \times 10^5$ (pour des propriétés physiques constantes). On constate que des régimes transitoires chaotiques peuvent se maintenir sur des durées longues (environ 500 unités de temps lorsque l'on incrémente Ra de $3.4 \times 10^5$ à $3.6 \times 10^5$) avant que le régime périodique ne s'établisse (fig. 2). Les fluctuations sont surtout importantes dans la couche limite montante (fig. 3). On note une certaine similitude avec les comportements observés pour les écoulements inter-disques.

Références

[1] Paolucci,Sandia National lab. Report SAND 82-8257, 1982 (non publié).
[2] B. Maherault, B. Vaillant, C. Weisman, P. Le Quéré. Notes et Doc. LIMSI No 99-14, 1999.
[3] P.Le Quéré, R. Masson, and P. Perrot, J. Comp. Physics, vol.103, No2, 1992.
[4] P. Le Quéré, C. Weisman, B. Maherault, B. Vaillant, Proc. du 12eme séminaire ``Mécanique des fluides numérique'' du CEA, I.N.S.T.N. Saclay, jan 2000.

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