Convection de Rayleigh-Bénard en cavité cylindrique

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C. Nore et L. S. Tuckerman

Figure

Objet

Malgré sa longue histoire, la convection de Rayleigh-Bénard conserve encore des questions ouvertes, même dans les toutes premières étapes de son développement. Dans des cavités cylindriques de hauteur et de rayon comparables, des analyses de stabilité de l'état conductif [1] ont déterminé les nombres de Rayleigh critiques et les motifs pour l'instabilité primaire. Cependant, des bifurcations secondaires altèrent ces motifs quand le nombre de Rayleigh continue à croître. Des seuils d'instabilité secondaire [2] et des diagrammes de bifurcation [3] ont été calculés mais dans une partie restreinte de l'espace des paramètres. Il reste aussi à réconcilier des résultats expérimentaux récents [4] avec des analyses de stabilité et des simulations non linéaires.

Description

Nous intégrons les équations de Boussinesq à l'aide d'une méthode pseudospectrale en coordonnées cylindriques, i.e. des polynômes de Chebyshev en r et en z et des fonctions trigonométriques en $\theta$. L'incompressibilité est imposée à la précision machine par une technique de matrice d'influence. Le code d'intégration temporelle a été adapté pour calculer les vecteurs propres les plus instables de l'état conductif ou d'un état convectif axisymétrique par la méthode de la puissance itérée. Le problème possède trois paramètres adimensionnels : le nombre de Rayleigh Ra, le nombre de Prandtl Pr et le rapport entre le rayon et la hauteur du cylindre $\Gamma$. La condition aux limites thermique à la paroi latérale peut être changée de conductive à adiabatique, ou intermédiaire. Ici, nous avons fixé les paramètres à $\Gamma=1$, Pr=0.02 et des parois latérales adiabatiques.

Résultats et perspectives

Nous avons d'abord réalisé une étude de la stabilité linéaire de l'état conductif pour les paramètres précédents afin de déterminer les valeurs critiques du nombre de Rayleigh Rac1 pour la bifurcation primaire. Les trois modes propres principaux ( m =0, 1, 2) sont représentés en figure 1 par les isovaleurs de la déviation en température et en figure 2 par le champ de vitesses. Ils correspondent respectivement à une solution axisymétrique formant un tourbillon toroïdal, une solution asymétrique à un rouleau (le fluide montant en $\theta= 0$ et descendant en $\theta=\pi$) et une solution asymétrique comportant deux plans de symétrie orthogonaux (le fluide montant en $\theta=\pi/2, 3\pi/2$ et descendant en $\theta=0, \pi$). Les taux de croissance des trois modes sont reportés en figure 3(a) en ligne continue. Nos seuils (NT), calculés par extrapolation, différent de moins de 2 % de ceux de Touihri et al. (TBH) [3] (croix) :

\begin{eqnarray*}\begin{array}{cccc} & m=0 & m=1 & m=2 \\ NT & 2260 & 2661 & 2492 \\ TBH & 2241 & 2611 & 2433 \end{array}\end{eqnarray*}


Nous avons ensuite étudié la stabilité de l'état axisymétrique. Les taux de croissance des trois modes sont reportés en figure 3(a) en lignes pointillées. Le mode instable est le mode m=2 qui apparaît par bifurcation secondaire dès que $Ra \ge Ra_{c2}(m=2) = 2463$ qui coïncide avec la valeur de Wanschura et al. [2] (étoile). Nous avons ensuite effectué une intégration temporelle du code non linéaire à partir de l'état convectif axisymétrique auquel a été ajoutée une perturbation non axisymétrique. La figure 3(b) montre les isovaleurs de la déviation en température de l'état convectif stationnaire pour Ra=2600. Cet état correspond à deux rouleaux, le fluide montant dans le plan vertical $\theta=0, \pi$ et descendant vers $\theta=\pi/2, 3\pi/2$.

Références

[1] J.C. Buell & I. Catton 1983, Trans. ASME J. Heat Transfer 105, 255.
[2] M. Wanschura, H.C. Kuhlmann & H.J. Rath 1996, J. Fluid Mech. 326, 399.
[3] R. Touihri, H. BenHadid & D. Henry 1999, Phys. Fluids 11, 8, 2078.
[4] B. Hof, P. G. J. Lucas & T. Mullin 1999, Phys. Fluids 11, 10, 2815.

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