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Objet

L'objectif de ce travail est de développer une méthodologie permettant de contribuer, à terme, à l'amélioration et au contrôle des échanges thermiques dans des cavités fermées. Une des clefs du contrôle actif est de disposer d'un système différentiel capable de prédire le comportement de l'écoulement en un temps de calcul suffisamment court pour être utilisé dans une boucle retour d'asservissement en temps réel. Un tel modèle réduit peut être obtenu par la Décomposition Orthogonale (P.O.D.), qui utilise des réalisations d'un écoulement turbulent. Nous proposons ici une approche complémentaire consistant à décomposer la perturbation sur la base des modes propres du Jacobien autour d'une solution stationnaire, technique qui semble a priori bien adaptée aux écoulements transitionnels.

Description

La méthodologie est développée et validée pour le cas classique de la cavité différentiellement chauffée de rapport de forme égal à 4 dans laquelle les écoulements sont gouvernés par les équations bidimensionnelles de Navier-Stokes d'un fluide incompressible sous les hypothèses de Boussinesq. Il s'agit tout d'abord de déterminer une solution stationnaire. Une méthode itérative de type Newton a été implantée dans un code en volumes finis avec une résolution du problème couplé à chaque pas Newton par une méthode itérative de type multi-grilles. Les modes propres dominants du Jacobien sont alors calculés grâce à la bibliothèque ARPACK. Un traitement similaire est effectué pour le problème adjoint. Au voisinage de la solution stationnaire, la perturbation est décomposée sur les modes du Jacobien : . Cette décomposition est introduite dans les équations non linéaires de Navier-Stokes, puis projetée sur un mode adjoint pour obtenir l'évolution temporelle de l'amplitude de chaque mode i sélectionné :

Résultats et perspectives

La méthode a permis de calculer les solutions sur la branche stationnaire jusqu'à soit un ordre de grandeur au dessus du seuil critique ( ), ce qui a permis de confirmer les lois d'échelle (épaisseur de couche limite, vitesse, stratification) du régime de couches limites séparées. Jusqu'à 500 modes d'instabilité ont été déterminés pour les problèmes direct et adjoint. La figure 1 présente le spectre du Jacobien ainsi que quelques modes d'instabilité de couche limite comportant jusqu'à 30 structures circulant dans la cavité. Environ 100 modes ont été utilisés pour constituer un système dynamique. La comparaison entre le signal recomposé sur ce système tronqué et un calcul direct est bonne pour des écoulements stables. Au dessus du seuil critique, les fréquences sont en accord mais les amplitudes des solutions saturées diffèrent (figure 2). La méthodologie sera validée par une confrontation des résultats numériques à des mesures expérimentales réalisées au L.E.T. à Poitiers, puis sera appliquée à une géométrie plus complexe. L'effort va à présent porter sur la compréhension du système dynamique, notamment sur l'analyse des redistributions d'énergie à travers les termes de couplage non linéaires pour aboutir à un critère de sélection a priori des quelques modes nécessaires à une bonne prédiction. Ce travail s'inscrit dans une collaboration de recherche entre laboratoires à travers le réseau AMETH. Il a donné lieu cette année à une participation à un workshop ainsi qu' à la soumission d'un article dans une revue internationale [1].

Références

[1] E. Gadoin, P. Le Quéré and O. Daube : ``A general methodology for investigating flow instabilities in complex geometries: application to natural convection in enclosures'', en révision à International Journal of Numerical Methods in Fluids, soumis en octobre 1999.

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