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Objet

La production de turbulence dans la couche limite se fait de manière intermittente dans une zone proche de la paroi. Elle est associée à l'éjection de filaments de fluide de faible vitesse loin de la paroi - on parle alors de "bursts", et plus généralement à la formation et rupture des structures cohérentes caractérisant l'écoulement. L'application de la P.O.D à la zone de paroi a permis de construire (1) un modèle à faible dimension (10-D) dont le comportement intermittent pour certains paramètres reproduit au moins qualitativement la dynamique de l'écoulement. Notre objectif est ici l'évaluation quantitative de ce modèle, en établissant une comparaison systématique entre le modèle issu de la P.O.D et la simulation numérique du domaine physique correspondant.

Description

Notre comparaison s'appuie sur la simulation numérique directe d'un canal plan avec des conditions aux limites périodiques. Jimenez et Moin (2) ont montré que pour que la turbulence soit maintenue, la largeur du domaine doit être plus grande que l'espacement transverse moyen entre les filaments longitudinaux observés expérimentalement. Ce domaine critique a été appelé Minimal Flow Unit par ces auteurs. Ici, nous simulons une double Minimal Flow Unit, qui contient typiquement deux paires de structures cohérentes. Les statistiques du second ordre obtenues par moyenne temporelle sont comparables à celles observées dans un écoulement réel. En revanche, en raison du petit nombre de structures présent dans l'écoulement, les statistiques obtenues par moyenne spatiale sont caractérisées par une forte intermittence sur une échelle de temps longue et difficile à interpréter. La démarche suivie est analogue à celle utilisée pour la Minimal Flow Unit dans le cas d'un modèle à deux modes (3). Nous avons appliqué la P.O.D à la zone de paroi - domaine compris entre la paroi et une hauteur de 50+ (unités de paroi). Nous avons construit le modèle à cinq modes strictement analogue à celui construit par Aubry et al.. Un élément -clé du modèle est la modélisation du transfert d'énergie aux petites échelles, qui s'appuie sur l'analogie d'Heisenberg. L'intensité du transfert est caractérisée par un paramètre dont la valeur reste à déterminer. Différentes valeurs de ce paramètre conduisent à divers comportements du modèle et en particulier à l'apparition ou non de l'intermittence. Nous avons calculé la valeur de ce paramètre dans la simulation, et montré que le modèle possède alors des cycles hétérocliniques similaires à ceux d'Aubry et al., caractérisés par une période d'intermittence en bon accord avec celle présente dans la simulation - voir fig 1. On note l'alternance entre les deux modes principaux (modes 1 et 2) - au cours du burst, le mode 1 devient instable, tandis que le mode 2 s'effondre, puis le phénomène s'inverse, et le système reprend sa position d'équilibre (mode 1 proche de zéro, mode 2 non nul). Comme on peut s'y attendre, les ``bursts'' du modèle 10-D présentent un caractère beaucoup plus ordonné que ceux observés dans la simulation - voir fig 2. L'étape suivante a donc consisté à introduire des modes longitudinaux dans le modèle, conduisant à considérer un modèle à 32 dimensions. Le nouveau système possède toujours des cycles hétérocliniques (voir fig 3) avec une période caractéristique qui reste en accord avec la simulation, mais ces cycles ont perdu leur caractère ordonné en raison de l'excitation des modes longitudinaux qui perturbent la trajectoire des modes sans variations longitudinales. En outre, la corrélation entre les deux premiers modes n'est plus comme dans le modèle 10-D proche de -1, mais elle demeure fortement négative et sa valeur est proche de celle de la simulation.

Résultats et perspectives

Nous avons établi que le modèle 10-D d'Aubry et al. reproduit correctement certains aspects quantitatifs des bursts expérimentaux. Ceci souligne le rôle crucial que ces modèles P.O.D. pourraient jouer pour la simulation, la compréhension et surtout le contrôle des écoulements réels.

Références

[1] N. Aubry, P. Holmes, J. Lumley and E. Stone : ``The Dynamics of Coherent Structures in the Wall Region of the Wall Boundary Layer'', JFM 1988.
[2] J. Jimenez and P. Moin : ``The Minimal Flow Unit in Near-wall Turbulence'', JFM 1991.
[3]B. Podvin and J. Lumley : ``A Low-Dimensional Approach for the Minimal Flow Unit'', JFM 1998.

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