Diagramme de bifurcation pour l'écoulement de Couette plan
perturbé
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L. S. Tuckerman et D. Barkley1
Figure
Objet
L'écoulement de Couette plan est linéairement stable à tous
nombres de Reynolds mais, à la fois
dans des simulations numériques et dans des expériences
subit une transition vers la turbulence tridimensionnelle à
.
Beaucoup d'efforts ont été consacrés [3]
à une recherche d'états
intermédiaires, plus compliqués que l'écoulement de Couette plan
laminaire, mais moins compliqués que la turbulence 3D.
Introduisant un fil mince dans leur expérience, une équipe
à CEN-Saclay [2] a observé des états
stationnaires 3D qui existent sur une plage limitée de nombre de Reynolds.
Notre motivation immédiate est de reproduire et comprendre
ces expériences, mais, plus généralement, la stabilité de
l'écoulement de Couette plan comme paradigme de la transition vers
la turbulence est un domaine actif et prometteur.
Description
Nous étudions l'écoulement engendré par deux plaques planes
se déplaçant en directions opposées (
)
séparées
par une distance constante (à 
)
dans la présence d'un ruban long et mince et de petite hauteur
adimensionalisée 
orienté dans la direction
transversale (z).
Dans une analyse de stabilité numérique précédente [1]
nous avons déterminé que l'écoulement bidimensionnel (2D) est
effectivement linéairement instable vis-à-vis de perturbations 3D.
Nous cherchons maintenant à calculer les diagrammes de bifurcation
correspondants. Nous utilisons Prism [4]
qui intègre les équations de Navier-Stokes utilisant une discrétisation
spatiale en éléments spectraux en x,y et en série de Fourier
en z.
La demi-longueur longitudinale est L=32 et la période transversale
est
.
Chaque composante de vitesse est représentée par 72000
points de maillage ou fonctions de base.
Pour localiser les bifurcations, nous calculons les taux de décroissance
en fonction de Re.
Résultats et perspectives
Le diagramme de bifurcation que nous avons calculé pour un ruban de
est montré dans la figure 1.
La géométrie et l'écoulement 2D possèdent la centrosymétrie
en (x,y) (
), et aussi les
symétries de translation et de réflection en z
(
).
Ces symétries forment le groupe
.
La bifurcation à
est une bifurcation fourche circulaire :
elle brise la symétrie de translation en z, produisant un ``cercle''
de solutions obtenues les unes des autres par rotation en z.
Les deux symétries de réflection sont maintenues,
donnant le groupe de symétries
pour la branche 3D près de la bifurcation.
Puisque la bifurcation à
est souscritique,
les états 3D près du point de bifurcation sont
instables et existent pour
.
Cette branche se retourne et devient stable à une bifurcation
noeud-col à
.
La branche 3D perd ensuite sa stabilité à
une bifurcation fourche à
.
Les deux branches stables qui naissent à
n'ont que la symétrie par rapport à l'origine
(
), c'est-à-dire Z2.
Les deux types d'états 3D sont comparés dans la figure
2.
La proximité de
et de
(liée à des vecteurs propres respectivement symétrique et antisymétrique)
serait une conséquence de la brisure faible de la symétrie
de translation en z.
Sur la branche non-symétrique, ces vecteurs propres
peuvent devenir une paire complexe, menant à l'oscillation et
éventuellement à une bifurcation de Hopf.
Références
[1] D. Barkley & L.S. Tuckerman, Phys. Fluids 11, 1187
(1999).
[2] S. Bottin, O. Dauchot & F. Daviaud, Phys. Rev. Lett. 79, 4377 (1997) ;
S. Bottin, O. Dauchot, F. Daviaud & P. Manneville, Phys. Fluids 10,
2597 (1998).
[3] A. Cherhabili & U. Ehrenstein, J. Fluid Mech. 342, 159 (1997);
M. Nagata, J. Fluid Mech. 358, 357 (1998);
B. Eckhardt & A. Mersmann, Phys. Rev. E 60, 509 (1999).
[4] R.D. Henderson & G.E. Karniadakis, J. Comput. Phys. 122, 191
(1995).
1 Mathematics Inst., Univ. of Warwick, Coventry CV4 7AL, U.K.
