Dispersion d'un soluté en milieu poreux anisotrope

Dispersion d'un soluté en milieu poreux anisotrope

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P. Tran, M. Firdaouss, en collaboration avec B. Goyeau (FAST)

Objet

P. Tran, M. Firdaouss, en collaboration avec B. Goyeau (FAST)

La maîtrise de la pollution souterraine, un sujet d'actualité, passe par la compréhension de la dispersion d'un soluté en milieu poreux. De nombreuses recherches sur la dispersion en milieu isotrope ont été menées et citées dans la littérature (voir [2]). L'objet de cette étude est d'étendre les recherches en milieu anisotrope.

Description

On étudie la dispersion d'un soluté injecté dans un milieu poreux sous l'effet d'un champ hydrodynamique. Le soluté est supposé sans réaction chimique avec le fluide. La matrice solide est imperméable. Le milieu étant périodique, l'étude est faite sur une cellule de base (figure 1). Deux problèmes sont considérés: les équations de Navier-Stokes pour l'aspect hydrodynamique et une équation d'advection-diffusion pour le transport de soluté. On s'intéresse à la variation de l'angle $\theta_{DV}=\theta_{V}% -\theta_{D_{\max}}$ (figure 2) que fait le vecteur vitesse moyenne avec la direction principale $D_{\max}$ associée à la plus grande valeur propre du tenseur de dispersion effectif. Ce tenseur est obtenu par la théorie de l'homogénéisation[1] appliquée à l'équation de transport de la concentration. Une méthode numérique d'é léments finis P1/P2 isoparamétrique est utilisée.

Résultats et perspectives

La figure (3) représente la variation de l'angle $\theta_{DV}$ en fonction du nombre de Peclet Pe pour une porosité $\varepsilon =0.6$ . Dans la zone de diffusion ( $Pe\leq1$ ), l'angle $\theta_{DV}$ est constant et se comporte comme $\theta_{DV}=2\theta_{V}-90^{\circ}$ , dans la zone de transition ( $2\leq Pe\leq40)$ , on a une croissance de l'angle de déviation avant de converger vers 0. Dans le régime de convection ( $Pe\geq50)$ , l'angle $\theta_{DV}$ est nul i.e la direction principale du tenseur de dispersion est la même que celle de l'écoulement moyen. On retrouve ici les résultats de [2] pour des cylindres de section carrée. La figure 4 montre l'évolution de l'angle $\theta_{DV}$ pour le cas anisotrope où le cylindre central est déplacé suivant l'axe horizontal (figure 2). Dans la zone de diffusion, les directions principales de la dispersion sont suivant les axes ox et oy qui sont les axes propres du milieu pour les écoulements de Stokes. Dans le régime convectif, l'angle $\theta_{DV}$ est toujours nul. Dans la zone de transition, les courbes ont un comportement différent qui dépend de la direction de l'écoulement. Pour analyser ces comportements, on décompose le tenseur de dispersion en deux tenseurs: l'un de diffusion, l'autre de dispersion hydrodynamique. On étudie l'évolution des angles $\theta_{D_{f}},\theta_{D_{h}},\theta_{D_{\max}}$ que font les vecteurs propres de ces trois tenseurs avec l'axe ox. Sur les figures 5 et 6, on représente les variations de $\theta_{D_{f}}% ,\theta_{D_{h}},\theta_{D_{\max}}$ en fonction de Pe: la figure 5 correspond à un angle d'écoulement $\theta_{V}=34^{\circ}$ et la figure 6 à $\theta_{V}=50^{\circ}$ . A faible Pe, l'angle $\theta_{D_{\max}}$ de la dispersion totale est égal à l'angle $\theta_{D_{f}}$ de la diffusion et à grand Pe, $\theta_{D_{\max}}$ est confondu avec l'angle $\theta_{D_{h}}$ de la dispersion hydrodynamique. Dans la zone de transition, la variation de $\theta_{D_{\max}}$ dépend du comportement de l'angle $\theta_{D_{h}}$ car la courbe pour $\theta_{D_{f}}$ est identique pour $\theta_{V}=34^{\circ}$ ou $50^{\circ}.$ Dans la direction à $\theta_{V}=34^{\circ}$ , la décroissance de $\theta_{D_{h}}$ induit une diminution de l'angle $\theta_{D_{\max}}$ qui descend en dessous de la valeur de $\theta_{V}$ d'où cet écart positif observé entre $\theta_{V}$ et $\theta_{D_{\max}}$ sur la figure 4. La même analyse est faite pour $\theta_{V}=50^{\circ}$ où l'augmentation de l'angle $\theta_{D_{\max}}$ due à une croissance de $\theta_{D_{h}},$ crée un écart important entre $\theta_{V}$ et $\theta_{D_{\max}}$ provoquant ainsi une dé croissance de $\theta_{DV}$ (figure 4). On en déduit que la variation de l'angle $\theta_{DV}$ dans la zone de transition dépend de la direction principale du tenseur de dispersion hydrodynamique. On envisage par la suite, d'étudier la dispersion du soluté lorsque celui-ci peut également diffuser dans la matrice solide.

Références

[1] E. Sanchez-Palencia, 1980, Lecture Notes in Physics Vol.127.
[2] H. P. Amaral Souto, 1993, Thèse de l'Institut National Polytechnique de Lorraine, Nancy, France.

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